Cách tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều và bài tập (2024) có đáp án

Cách tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều

I. Lý thuyết

1. Lăng trụ tam giác đều là gì?

Lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ có hai đáy là hai tam giác đều bằng nhau.

* Tính chất khối lăng trụ tam giác đều

• Hai đáy là hai tam giác đều bằng nhau do đó các cạnh đáy bằng nhau.
• Các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.
• Các mặt bên và hai đáy vuông góc với nhau.

2. Công thức tính diện tích xung quanh lăng trụ tam giác đều

Diện tích xung quanh lăng trụ tam giác đều bằng tổng diện tích các mặt bên hoặc bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.

Sxq = P.h

Trong đó:

• p: chu vi đáy.
• h: chiều cao

3. Công thức tính diện tích toàn phần lăng trụ tam giác đều

Diện tích toàn phần của lăng trụ tam giác đều bằng tổng diện tích các mặt bên và diện tích 2 đáy

Stp = Sxq + 2S = 3.a.h + a² . ($\frac{\sqrt{3}}{4}$)

Trong đó:

• a là chiều dài cạnh đáy
• h là chiều cao

II. Cách tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều

Thể tích lăng trụ tam giác đều bằng diện tích khối lăng trụ nhân với chiều cao hoặc bằng căn bậc 2 của ba nhân với lập phương tất cả các cạnh bên, sau đó tất cả chia cho 4.

V = S.h =$\frac{\sqrt{3}}{4}$.a³.h

Trong đó

• a là chiều dài cạnh đáy
• h là chiều cao

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính thể tích khối trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng 8cm và mặt phẳng A’B’C’ tạo với mặt đáy ABC một góc bằng 60 độ.

Lời giải

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC ta có:

AI vuông góc BC (theo tính chất đường trung tuyến của một tam giác đều)

A’I vuông góc BC (Vì A’BC là tam giác cân)

Góc A’BC, ABC = góc AIA’ = 60⁰

$\Rightarrow$AA'= AI.tan60⁰ = $\frac{8\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=12$

Diện tích tam giác ABC:

S = a² . $\frac{\sqrt{3}}{4}$ = 8²x $\frac{\sqrt{3}}{4}$ = 2$\sqrt{3}$ cm²

Thể tích khối lăng trụ tam giác đứng ABCA’B’C’ là:

V = S.h = 12 x $2\sqrt{3}$ = $24\sqrt{3}$ cm³

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$, góc giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung điểm của . Tìm thể tích của khối chóp M.A’B’C’

Lời giải:

Do AA’ vuông góc với tam giác ABC nên suy ra

(A’C,(ABC)) = góc A’CA = 60º

Ta có AA’ = AC . Tan A’CA = $a\sqrt{3}$.tan60º = 3a

S_A'B'C' = $\frac{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$

MB' = $\frac{AA\text{'}}{2}=\frac{3a}{2}$

$\Rightarrow$ V_M'.A'B'C' = $\frac{1}{3}$.MB'. S_A'B'C' = $\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}$