Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

1. Phương pháp giải

Bài toán 1. Cho đường tròn (C): (x – a)² + (y – b)² = R² có tâm I(a; b) và bán kính R, điểm M(x₀; y₀) thuộc vào đường tròn (C). Viết phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm M của đường tròn (C).

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow{IM}.$

Bước 2. Viết phương trình tiếp tuyến ∆.

Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn tại M nên ∆ vuông góc với IM.

Tiếp tuyến ∆ của (C) là đường thẳng đi qua M và nhận $\overrightarrow{IM}$ làm vectơ pháp tuyến.

Bài toán 2. Cho đường tròn (C): (x – a)² + (y – b)² = R². Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đi qua điểm N(x₀; y₀) của đường tròn (C).

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện các cách sau:

Cách 1. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng ∆.

Bước 1. Phương trình tiếp tuyến ∆ đi qua điểm N(x₀; y₀) của đường tròn (C) có phương trình là:

y – y­₀ = k(x – x₀) hay kx – y – kx₀ + y₀ = 0 (*).

Bước 2. Sử dụng công thức d(I, ∆) = R ta tính được k.

Bước 3. Thay k vào phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C).

Cách 2. Gọi $\overrightarrow{n}\left(A;B\right)$ (với A² + B² ≠ 0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Bước 1. Phương trình tiếp tuyến ∆ đi qua điểm N(x₀; y₀) của đường tròn (C) có phương trình là:

A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0.

Bước 2. Sử dụng công thức d(I, ∆) = R ta tìm được biểu thức liên hệ giữa A và B.

Bước 3. Chọn B, ta được A, thay vào phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0 và điểm A(1; 5). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (C).

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) suy ra $\overrightarrow{IA}=\left(0;3\right)=3\left(0;1\right).$

Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm A, khi đó d đi qua A và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(0;1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình đường thẳng d là y – 2 = 0.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (C): x² + y² – 4 = 0 và điểm A(–1; 2). Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A của đường tròn (C).

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và có bán kính R = 2.

Đường thẳng Δ qua A(–1; 2) có phương trình là:

y – 2 = k(x + 1) hay kx – y + k + 2 = 0.

Để Δ tiếp xúc với (C) tại A thì d(O, Δ) = R.

Hay $\frac{\left|k+2\right|}{\sqrt{k^2+{\left(-1\right)}^2}}=2\iff \left|k+2\right|=2\sqrt{k^2+1}$

⇔ (k + 2)² = 4(k² + 1)

⇔ k² + 4k + 4 = 4k² + 4

⇔ 3k² – 4k = 0

⇔ k(3k – 4) = 0

⇔ k = 0 hoặc $k=\frac{4}{3}.$

Với k = 0, ta có phương trình tiếp tuyến là Δ: y + 2 = 0.

Với $k=\frac{4}{3},$ ta có phương trình tiếp tuyến là Δ: $\frac{4}{3}x–y+\frac{4}{3}+2=\mathrm{0,}$ hay 4x – 3y + 10 = 0.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn x² + y² – 1 = 0 tiếp xúc với đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?

A. 3x – 4y + 5 = 0;

B. x + y = 0;

C. 3x + 4y – 1 = 0;

D. x + y – 1 = 0.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox?

A. x² + y² – 10x = 0;

B. x² + y² – 5 = 0;

C. x² + y² – 10x – 2y + 1 = 0;

D. x² + y² + 6x + 5y + 9 = 0.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y + 3 = 0. Tiếp tuyến của đường tròn (C) song song với đường thẳng Δ: 3x + 4y + 1 = 0 có phương trình là

A. $3x+4y+5\sqrt{2}-11=0$ và $3x+4y-5\sqrt{2}+11=0$;

B. $3x+4y+5\sqrt{2}-11=0$ và $3x+4y-5\sqrt{2}-11=0$;

C. $3x+4y+5\sqrt{2}-11=0$ và $3x+4y+5\sqrt{2}+11=0$;

D. $3x+4y-5\sqrt{2}+11=0$ và $3x+4y-5\sqrt{2}-11=0$;

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x – 2)² + ( y + 4)² = 25 vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 là

A. 4x + 3y + 29 = 0;

B. 4x + 3y + 29 = 0 và 4x + 3y – 21 = 0;

C. 4x – 3y + 5 = 0 và 4x – 3y – 45 = 0;

D. 4x + 3y + 5 = 0 và 4x + 3y + 3 = 0.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 3)² + (y – 4)² = 36 và điểm P(–3; –2) nằm ngoài đường tròn. Từ điểm P kẻ các tiếp tuyến PM và PN tới đường tròn (C), với M, N là các tiếp điểm. Phương trình đường thẳng MN là

A. x + y + 1 = 0;

B. x – y – 1 = 0;

C. x – y + 1 = 0;

D. x + y – 1 = 0.

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x² + y² – 4x + 8y + 18 = 0. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua A(1; –3) là

A. x + y + 4 = 0;

B. x + y – 4 = 0;

C. x – y + 4 = 0;

D. x – y – 4 = 0.

Bài 7. Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 1)² = 25 và điểm M(9; –4). Gọi d là tiếp tuyến của (C), biết d đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến d bằng

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 6x + 2y + 5 = 0 và đường thẳng d: 2x + (m – 2)y – m – 7 = 0. Tổng các giá trị của m sao cho đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (C) là

A. 10;

B. –10;

C. 16;

D. –16.

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(–3; 1) và đường tròn (C): x² + y² – 2x – 6y + 6 = 0. Gọi T₁, T₂ là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Khoảng cách từ O đến đường thẳng T­₁T₂ là

A. 5;

B. $\sqrt{5}$;

C. $\frac{3}{\sqrt{5}}$;

D. $2\sqrt{2}$.

Bài 10. Cho đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và bán kính $R=\sqrt{52}$ và điểm M có tọa độ nguyên thuộc đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=1-4t\end{array}\right..$ Phương trình tiếp tuyến d’ của đường tròn (C) tại điểm M là

A. x + 2y + 3 = 0;

B. 2x + 5y + 21 = 0;

C. 2x – 3y – 19 = 0;

D. Đáp án khác.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 khác:

• Lập phương trình đường tròn

• Xác định các yếu tố của elip, hypebol và parabol