Bất phương trình bậc 2

Bất phương trình bậc 2

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Bất phương trình bậc 2 ẩn x có dạng tổng quát là $a{x}^2+bx+x<0 hoặc a{x}^2+bx+c\le 0, a{x}^2+bx+c>0, a{x}^2+bx+c⩾0$

trong đó a, b, c là những số thực cho trước, a$\ne$0

2. Tam thức bậc 2 - dấu của tam thức bậc hai

Ta có định lý về dấu của tam thức bậc hai như sau:

Cho f(x) = $a{x}^2+bx+c,=b^2-4ac$

* Nếu $△>0$ thì f(x) luôn cùng dấu với a (trừ trường hợp x = $-\frac{b}{2a}$

* Nếu $△<0$ thì f(x) luôn cùng dấu với a (với mọi $x\in R$)

* Nếu $△=0$ thì f(x) luôn cùng dấu với a khi $x<x_1$ hoặc $x>x_2$; trái dấu với hệ số a khi $x_1<x<x_2 trong đó x_{1, }{x}_2( với x_1<x_2)$là hai nghiệm của hàm số f(x)

Nhận xét

$$\begin{gathered} a{x}^2+bx+c>0, \forall R\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ △<0\end{array}\right. \\ a{x}^2+bx+c<0,\forall R\iff \left\{\begin{array}{l}a<0\\ △<0\end{array}\right. \end{gathered}$$

3. Các dạng bài tập

Dạng 1: Giải bất phương trình bậc 2

Dạng 2: Giải bất phương trình bậc 2 dạng tích

Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm - có nghiệm - nghiệm đúng

Dạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc 2

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình $x^2+2x+6m>0.$

Lời giải:

Đặt $f\left(x\right)=x^2+2x+6m$

Ta có Δ' = 1 - 6m; a = 1. Xét ba trường hợp:

+) Trường hợp 1: Nếu ${\Delta }^{\text{'}}<0\iff m>\frac{1}{6}$$\Rightarrow f\left(x\right)>0\forall x\in ℝ$ .

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ$ .

+) Trường hợp 2: Nếu ${\Delta }^{\text{'}}=0\iff m=\frac{1}{6}$$\Rightarrow f\left(x\right)>0\forall x\in ℝ\text{{-1}\}$.

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ\text{{-1}\}$ .

+) Trường hợp 3: Nếu ${\Delta }^{\text{'}}>0\iff m<\frac{1}{6}$ .

Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_1=-1-\sqrt{1-6m}$ ; $x_2=-1+\sqrt{1-6m}$ ( dễ thấy $x_1<x_2$ ) $\Rightarrow f\left(x\right)>0khi\text{\hspace{0.33em}}x<x_1$ hoặc $x>x_2$. Suy ra nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;x_1\right)\cup \left(x_2;+\infty \right)$ .

Vậy:

Với $m>\frac{1}{6}$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ$ .

Với $m=\frac{1}{6}$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ\text{{-1}\}$ .

Với $m<\frac{1}{6}$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;x_1\right)\cup \left(x_2;+\infty \right)$ với $x_1=-1-\sqrt{1-6m}$, $x_2=-1+\sqrt{1-6m}$.

Ví dụ 2: Xét dấu tam thức $f\left(x\right)=-x^2-4x+5$

Lời giải:

Ta có f(x) có hai nghiệm phân biệt x=1, x=-5 và hệ số a = -1 < 0 nên:

f(x) > 0 khi $x\in (-5;1)$ ; f(x) < 0 khi $x\in (-\infty ;-5)\cup (1;+\infty )$ .

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét dấu biểu thức $f\left(x\right)=\left(3x^2-10x+3\right)\left(4x-5\right)$ .

Lời giải:

Ta có: $3x^2-10x+3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=3\\ x=\frac{1}{3}\end{array}\right.$ và $4x-5=0\iff x=\frac{5}{4}.$

Lập bảng xét dấu:

x	$-\infty$ $\frac{1}{3}$ $\frac{5}{4}$ 3 $+\infty$
$3x^2-10x+3$	+ 0 - $|$ - 0 +
4x-5	- $|$ - 0 + $|$ +
f(x)	- 0 + 0 - 0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

$f\left(x\right)\le 0\iff x\in \left(-\infty ;\frac{1}{3}\right]\cup \left[\frac{5}{4};3\right]$ ; $f\left(x\right)\ge 0\iff x\in \left[\frac{1}{3};\frac{5}{4}\right]\cup \left[3;+\infty \right)$ .

Bài 2: Giải và biện luận bất phương trình $12x^2 +2\left(m+3\right)x+m\le 0.$

Lời giải:

Đặt $f\left(x\right)=12x^2 +2\left(m+3\right)x+m$, ta có a = 12 và ${\Delta }^{\text{'}}={(m-3)}^2\ge 0$

Khi đó, ta xét hai trường hợp:

+) Trường hợp 1: Nếu ${\Delta }^{\text{'}}=0\iff m=3$ , suy ra $f\left(x\right)\ge 0\forall x\in ℝ$ . Do đó, nghiệm của bất phương trình là $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$ .

+) Trường hợp 2: Nếu ${\Delta }^{\text{'}}>0\iff m\ne 3$ , suy ra f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_1=-\frac{1}{2};x_2=-\frac{m}{6}$

Xét hai khả năng sau:

Khả năng 1: Nếu $x_1<x_2\iff m<3$

Khi đó, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[-\frac{1}{2};-\frac{m}{6}\right]$

Khả năng 2: Nếu $x_1>x_2\iff m>3$

Khi đó, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[-\frac{m}{6};-\frac{1}{2}\right]$

Vậy: Với m = 3 tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left\{-\frac{1}{2}\right\}$ .

Với m < 3 tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[-\frac{1}{2};-\frac{m}{6}\right]$ .

Với m > 3 tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[-\frac{m}{6};-\frac{1}{2}\right]$ .

Bài 3: Giải bất phương trình $\sqrt{x^2+2}\le x-1$ .

Lời giải:

Ta có $\sqrt{x^2+2}\le x-1$$\iff \left\{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ x^2+2\ge 0\\ x^2+2\le x^2-2x+1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ 2x\le -1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -\frac{1}{2}\end{array}\right.$ (vô lý).

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

Bài 4: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $\sqrt{x^2-2x-15}>2x+5$ .

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{x^2-2x-15}>2x+5$$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}^2-2x-15\ge 0\\ 2x+5<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}2x+5\ge 0\\ x^2-2x-15>{\left(2x+5\right)}^2\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\le -3\\ x\ge 5\end{array}\right.\\ x<-\frac{5}{2}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge -\frac{5}{2}\\ 3x^2+22x+40<0\end{array}\right.\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}x\le -3\\ \left\{\begin{array}{l}x\ge -\frac{5}{2}\\ -4<x<-\frac{10}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x\le -3.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $S=\left(-\infty ;-3\right]$ .

Bài 5: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình $2x^2-3x-15\le 0$

Lời giải:

Xét $f\left(x\right)=2x^2-3x-15$ .

$f\left(x\right)=0$$\iff x=\frac{3\pm \sqrt{129}}{4}$ .

Ta có bảng xét dấu:

x	$-\infty$ $\frac{3-\sqrt{129}}{4}$ $\frac{3+\sqrt{129}}{4}$ $+\infty$
f(x)	+ 0 - 0 +

Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[\frac{3-\sqrt{129}}{4};\frac{3+\sqrt{129}}{4}\right]$ .

Do đó bất phương trình có 6 nghiệm nguyên là: -2; -1; 0; 1; 2; 3.

Bài 6: Xét dấu biểu thức: $f\left(x\right)=x^2-4$ .

Lời giải:

Ta có f(x) có hai nghiệm phân biệt x = -2, x = 2 và hệ số a = 1 > 0 nên:

f(x) < 0 khi $x\in (-2;2)$ ; f(x) > 0 khi $x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$.

Bài 7: Xét dấu biểu thức: $f\left(x\right)=x^2-4x+4$.

Lời giải:

$x^2-4x+4=0\iff x=2$ . Ta có bảng xét dấu:

x	$-\infty$ 2 $+\infty$
$x^2-4x+4$	+ 0 +

Vậy f(x) > 0 với $\forall x\in ℝ\text{{}2\}$ .

Bài 8: Giải bất phương trình $x\left(x+5\right)\le 2\left(x^2+2\right).$

Lời giải:

Bất phương trình $x\left(x+5\right)\le 2\left(x^2+2\right)\iff x^2+5x\le 2x^2+4\iff x^2-5x+4\ge 0$

Xét phương trình $x^2-5x+4=0\iff \left(x-1\right)\left(x-4\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}\right..$

Lập bảng xét dấu:

x	$-\infty$ 1 4 $+\infty$
$x^2-5x+4$	+ 0 - 0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $x^2-5x+4\ge 0\iff x\in \left(-\infty ;1\right]\cup \left[4;+\infty \right).$

Bài 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn $\frac{x+3}{x^2-4}-\frac{1}{x+2}<\frac{2x}{2x-x^2}$ ?

Lời giải:

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-4\ne 0\\ x+2\ne 0\\ 2x-x^2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne \pm 2\end{array}\right..$

Bất phương trình:

$\frac{x+3}{x^2-4}-\frac{1}{x+2}<\frac{2x}{2x-x^2}\iff \frac{x+3}{x^2-4}-\frac{1}{x+2}+\frac{2x}{x^2-2x}<0\iff \frac{2x+9}{x^2-4}<0.$

Bảng xét dấu:

x	$-\infty$ $-\frac{9}{2}$ -2 2 $+\infty$
2x+9	- 0 + $|$ + $|$ +
$x^2-4$	+ $|$ + 0 - 0 +
f(x)	- 0 + $\left|\right|$ - $\left|\right|$ +

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $\frac{2x+9}{x^2-4}<0\iff x\in \left(-\infty ;-\frac{9}{2}\right)\cup \left(-2;2\right).$

Vậy chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x (x = 1) thỏa mãn yêu cầu.

Bài 10 Tìm các giá trị của m để biểu thức $f\left(x\right)=x^2+(m+1)x+2m+7>0\forall x\in ℝ$

Lời giải:

Ta có: $f\left(x\right)>0,\forall x\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta <0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}1>0\\ {\left(m+1\right)}^2-4\left(2m+7\right)<0\end{array}\right.$

$\iff m^2-6m-27<0\iff -3<m<9$ .

Bài 11 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình: $\left(m+1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+4\ge 0$ (1) có tập nghiệm S=R ?

Lời giải:

+) Trường hợp 1: $m+1=0\iff m=-1$

Bất phương trình (1) trở thành $4\ge 0\forall x\in R$ ( Luôn đúng) (*)

+) Trường hợp 2: $m+1\ne 0\iff m\ne -1$

Bất phương trình (1) có tập nghiệm S=R

$\iff \left\{\begin{array}{c}a>0\\ \Delta \text{'}\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m+1>0\\ \Delta \text{'}=m^2-2m-3\le 0\end{array}\right.\iff -1<m\le 3\left(**\right)$

Từ (*) và (**) ta suy ra với $-1\le m\le 3$ thì bất phương trình có tập nghiệm S=R.

Bài 12 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai f(x) sau đây thỏa mãn $f\left(x\right)=-x^2+2x+m-2018<0$ , $\forall x\in ℝ$ .

Lời giải:

Vì tam thức bậc hai f(x) có hệ số a = -1 < 0 nên $f\left(x\right)<0,\forall x\in ℝ$ khi và chỉ khi ${\Delta }^{\text{'}}<0$$\iff 1-\left(-1\right)\left(m-2018\right)<0$$\iff m-2017<0$$\iff m<2017$.

Bài 13: Bất phương trình $\sqrt{2x-1}\le 2x-3$ có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc khoảng (0; 7)?

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{2x-1}\le 2x-3$$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ 2x-3\ge 0\\ 2x-1\le {\left(2x-3\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ x\ge \frac{3}{2}\\ 4x^2-14x+10\ge 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{3}{2}\\ \left[\begin{array}{l}x\le 1\\ x\ge \frac{5}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x\ge \frac{5}{2}$

Kết hợp điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x\in \left(0;7\right)\\ x\in \mathbb{Z}\end{array}\right.$ , suy ra $x\in \left\{3;4;5;6\right\}$ .

Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên thuộc khoảng (0; 7).

Bài 14: Tìm tập nghiệm của bất phương trình $\sqrt{x^2+2017}\le \sqrt{2018}x$ .

Lời giải:

$\sqrt{x^2+2017}\le \sqrt{2018}x\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+2017\ge 0\\ x\ge 0\\ x^2+2017\le 2018x^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-1\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \left[\begin{array}{l}x\le -1\\ x\ge 1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x\ge 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $T=\left[1;+\infty \right)$.