200 Bài tập về điều kiện để hai đường thẳng tiếp xúc và cách giải (2023) có đáp án

200 Bài tập về điều kiện để hai đường thẳng tiếp xúc và cách giải (2023) có đáp án

I. Phương pháp giải toán

Sử dụng điều kiện tiếp xúc của đường thẳng với đồ thị hàm số:

+ Đường thẳng  tiếp xúc với đồ thị hàm số  khi và chỉ khi hệ phương trình  có nghiệm

+ Khi đó, đường thẳng  là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  tại điểm  khi x₀ và a là nghiệm của hệ phương trình 

II. Bài tập vận dụng

Bài 1. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số  tiếp xúc với trục hoành.

Ta có 
Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
Giải hệ phương trình ta được 

Bài 2. Tìm các giá trị của m để hai đường y = 2x - m + 1 và y = x² + 5 tiếp xúc nhau?

A. m = 0

B. m = 1

C m = 3

D. m = -3

Đáp án đúng là C

Bài 3. Đường thẳng x + y  = 2m là tiếp tuyến của đường cong y=-x³+2x+4 khi m bằng:

A. -3 hoặc 1

B. 1 hoặc 3

C. 3 hoặc 1

D. -3 hoặc -1

Đáp án đúng là B

Bài 4. Cho hàm số y = x³ - 3x² + m +  có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d : y = m(x - 2) + m - 5 là tiếp tuyến của đồ thị (C).

Lời giải:

d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{\begin{array}{l}{x}^3-3x^2+m-1=m(x-2)+m-5\\ 3x^{2 }-6x=m\end{array}\right.$
Ta có $x^3–3x^2+3x^2–6x–1$ $=(3x^2–6x)(x–2)$ $+3x^2–6x–5.$
$\iff 2x^3–9x^2+12x–4=0$ $\iff [\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\Rightarrow m=–\frac{9}{4}\\ x=2\Rightarrow m=0\end{array}.$
Vậy có hai giá trị của m cần tìm là $m=–\frac{9}{4}$ và m = 0.

Bài 5. Cho hàm số $y=x^3+m{x}^2+1$ có đồ thị (C). Đường thẳng $\mathrm{\Delta }:y=–x+1$ cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C(0;1). Tìm m sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B vuông góc với nhau.

Lời giải:

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2+2mx$ $=x(3x+2m).$

Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3+m{x}^2+1=–x+1$ $\iff x(x^2+mx+1)=0$ $\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2+mx+1=0\end{array}.$

$\mathrm{\Delta }$ cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi phương trình $x^2+mx+1=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $0.$
$\iff \mathrm{\Delta }=m^2–4>0$ $\iff [\begin{array}{l}m<–2\\ m>2\end{array}.$
Khi đó A, B có hoành độ lần lượt là $\{\begin{array}{l}{x}_A=\frac{–m+\sqrt{m^2–4}}{2}\\ x_B=\frac{–m–\sqrt{m^2–4}}{2}\end{array}.$
Suy ra $\{\begin{array}{l}y{‘}_A=\frac{–m+\sqrt{m^2–4}}{2}[3\left(\frac{–m+\sqrt{m^2–4}}{2}\right)+2m]\\ y{‘}_B=\frac{–m–\sqrt{m^2–4}}{2}[3\left(\frac{–m–\sqrt{m^2–4}}{2}\right)+2m]\end{array}.$

Theo giả thiết $y^{\text{'}}\left(x_A\right)y^{\text{'}}\left(x_B\right)=–1.$

$\iff (m+3\sqrt{m^2–4})(m–3\sqrt{m^2–4})=–m$ $\iff –8m^2+40=0$

$$\begin{gathered} \iff [ m = \sqrt{5} \\ m = -\sqrt{5} \end{gathered}$$

Bài 6. Đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị (C) : y = -2x⁴ + 4x² -1 tại hai điểm phân biệt. Tìm tung độ tiếp điểm.

A. 1                   B. -1                  C. 0                  D. 3

Lời giải: 

Ta nhận thấy (C) là đồ thị hàm số trùng phương có ba điểm cực trị. Do đó, đường thẳng tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt khi đường thẳng đó tiếp xúc với (C) tại hai điểm cực trị có cùng tung độ.

Ta có: y' = -8x³ + 8x, y' = 0 $$\begin{gathered} \iff [x = 0 \\ x = \pm 1 \end{gathered}$$

Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực đại là A(1;1), B(-1;1)

Đường thẳng y = m tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt khi y = m là tiếp tuyến của (C) tại hai điểm cực đại của (C)

Suy ra m  = 1 và tung độ hai tiếp điểm là 1

Bài 7. Cho hàm số $y=x^4–2m^2{x}^2+2m+1.$ Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị và đường thẳng x = 1 song song với đường thẳng $y=-12x+2.$ 

A. $m=4.$
B. $m=\pm 2.$
C. $m=-2.$
D. $m = 2.$

Lời giải:

Ta có $y^{\text{'}}=4x^3–4m^{2}x.$

Với $x=1$ $\Rightarrow y=2+2m–2m^2.$

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $A(1;2+2m–2m^2)$ là $y^{\text{'}}\left(1\right)=4–4m^2.$

Tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=-12x+2$ nên:
$4–4m^2=–12$ $\iff [\begin{array}{l}m=2\\ m=–2\end{array}.$

Với m = 2  ta có $A(1;-2).$

Phương trình tiếp tuyến là $y=-12(x–1)–2$ hay $y=-12x+10.$

Với m = -2, ta có $A(1;-10).$

Phương trình tiếp tuyến là $y=-12(x–1)–10$ hay $y=-12x+2$ (loại).

Chọn đáp án D.

Lưu ý: Với những bài toán có liên quan đến yếu tố song song, ta cần kiểm tra xem giá trị m có thỏa mãn hay không.

Bài 8. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số $y=x^3–3mx+m+1$ tiếp xúc với trục hoành.
A. m = 1 
B. $m=\pm 1.$
C. m = -1
D. $m\ne 1.$

Lời giải: 

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2–3m.$

Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi hệ phương trình sau có nghiệm:
$\{\begin{array}{l}{x}^3–3mx+m+1=0\\ 3x^2–3m=0\end{array}.$

Giải hệ phương trình ta được $\{\begin{array}{l}x=1\\ m=1\end{array}.$
Chọn đáp án A.

Bài 9. Cho hàm số y = x³ - 2x² + (m - 1)x + 2m có đồ thị là $\left(C_m\right)$. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị $\left(C_m\right)$ vuông góc với đường thẳng $△$: y = 3x + 2018
A. m = $\frac{7}{3}$
B. m = 1
C. m = 2
D. m = $-\frac{1}{3}$

Lời giải:

Bài 10. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng d : y = mx - m - 3 cắt đồ thị (C) : y = 2x³ - 3x² - 2 tại ba điểm phân biệt A, B, I(1;-3) mà tiếp tuyến với (C) tại A và tại B vuông góc với nhau. Tính tổng các phần tử của S
A. -1
B. 1
C. 2
D. 5

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 11. Cho hàm số y = -x³ + mx² + mx + 1 có đồ thị (C). Có bao nhiêu giá trị của m để tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của (C) đi qua gốc tọa độ O?
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4

Lời giải: 

Chọn đáp án B

Bài 12. Cho hàm số $y = \frac{x+2}{x-1}$ có đồ thị (C) và điểm A(0;m). Tìm tập hợp S các giá trị của tham số m để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hoành.
A. $S=(-2;\frac{3}{2})\backslash \left\{1\right\}$
B. $S=(-2;+\infty )$
C. $S=(-2;+\infty )\backslash \left\{1\right\}$
D. $S=(-\frac{2}{3};+\infty )\backslash \left\{1\right\}$

Lời giải:

Bài 13. Tìm các giá trị của m để hàm số y = mx³ - 3mx² - 3x + 2 nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ và đồ thị của nó không có tiếp tuyến song song với trục hoành.
A. -1 < m < 0
B. -1 $\le$m $\le$0
C. -1 $\le$m < 0
D. -1 < m $\le$0

Lời giải:

Bài 14. Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x+2}$ có đồ thị (C) và đường thẳng d : y = -2x + m - 1 (m là tham số thực). Gọi k₁, k₂ là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của d và (C). Tính giá trị của k₁k₂
A. 3
B. 4
C. $\frac{1}{4}$
D. 2

Lời giải:

Bài 15. Cho hàm số $y=\frac{2x-3}{x-1}$ có đồ thị (C). Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = 2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số (C).
A. $\forall m\in \mathrm{ℝ}$
B. m = $\sqrt{8}$
C. m = $\pm 2\sqrt{2}$
D. m $\ne 1$

Lời giải:

Bài 16. Cho hàm số y = x³ - 6x² + 3(m + 2)x + 4m - 5 có đồ thị (C). Tìm m sao cho trên (C) có đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn1 sao cho tiếp tuyến tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng $△$: + 2y + 3 = 0

Lời giải: