Công thức tích có hướng

Công thức tích có hướng của hai vecto

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

2. Tính chất

II. Ví dụ minh họa

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét sự đồng đẳng của 3 vecto $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ với $\overrightarrow{a}$ = (1; -1; 1); $\overrightarrow{b}$ = (0; 1; 2); $\overrightarrow{c}$ = (4; 2; 3)

Giải

Ta có $\left[\begin{array}{cc}\overrightarrow{a};& \overrightarrow{b}\end{array}\right]$ = $\left(\begin{array}{cc}\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|;& \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right|; \left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right|\end{array}\right)=(-3;-1; 1)$

Khi đó $\left[\begin{array}{cc}\overrightarrow{a};& \overrightarrow{b}\end{array}\right]$$\overrightarrow{c}$ = (-3; -1; 1). (4; 2; 3) = -3.4 + (-1).2 + 1. 3 = -11

Như vậy 3 vecto không đồng phẳng

Bài 2: Cho 3 điểm A(1;0;0); B(0;0;1) và C (2;1;1). Hãy chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tính diện tích của tam giác đó.

Giải

Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (-1; 0; 1); $\overrightarrow{AC}$ = (1; 1; 1)

$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{cc}\overrightarrow{AB};& \overrightarrow{AC}\end{array}\right]$ = $\left(\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right|;\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right];\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 1\end{array}\right|\right)$ = (-1; 2; -1) $\ne 0$

$\Rightarrow$hai vecto $\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}$ không cùng phương. Vậy A, B, C là đỉnh của một tam giác

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\left(\begin{array}{cc}\overrightarrow{AB};& \overrightarrow{AC}\end{array}\right)\right|=\frac{1}{2}\sqrt{{(-1)}^2+2^2+{(-1)}^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ (đvdt)

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' với A (1; 0; 1); B (2; 1; 2); D (1; -1; 1); A' ( 3; 5; -6). Tính thể tích hình hộp đó.

Giải:

Áp dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật ta có

$\mathrm{V}=\left|\left(\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{AB}};& \overrightarrow{\mathrm{AD}}\end{array}\right) . \overrightarrow{\mathrm{AA}\text{'}}\right|$ = ($\left|\left(1; 0; -1\right). (2; 5; -7)\right| =\left|2+0+7\right|=9$ (đvdt)

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3). Diện tích tam giác ABC là:

Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;1), B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3). Thể tích tứ diện ABCD là:

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1). Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ D là: