Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Công thức tích có hướng

    Với tài liệu về Công thức tích có hướng bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 1,350 10/01/2026
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Công thức tích có hướng của hai vecto

    I. Lý thuyết

    • Ta có định lí sau:

    Cho hai vectơ u→ = (x1; y1; z1) và v→ = (x2; y2; z2) không cùng phương.

    Khi đó, vectơ w→ = (y1z2 – y2z1; z1x2 – z2x1; x1y2 – x2y1) vuông góc với cả hai vectơ u→ và v→.

    • Nhận xét:

    + Vectơ w→ trong định lí trên được gọi là tích có hướng của hai vectơ u→ và v→, kí hiệu là w→=u→,v→.

    + Để thuận tiện trong cách viết, ta quy ước: abcd = ad – bc, với a, b, c, d là các số thực.

    Khi đó, với hai vectơ u→ = (x1; y1; z1) và v→ = (x2; y2; z2) ta có:

    Công thức tính tích có hướng của hai vectơ

    + Hai vectơ u→,v→ không cùng phương khi và chỉ khi vectơ w→=u→,v→ ≠ 0→.

    II. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ u→ = (1; 2; 3) và v→ = (3; −2; 4). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ w→ khác 0→ vuông góc với cả hai vectơ u→ và v→.

    Hướng dẫn giải

    Ta có: Công thức tính tích có hướng của hai vectơ

    Vậy w→ = (14; 5; −8) khác 0→ vuông góc với cả hai vectơ u→ và v→.

    Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a→ = (1; 0; 3) và b→ = (0; −2; 5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ c→ khác 0→ vuông góc với cả hai vectơ a→ và b→.

    Hướng dẫn giải

    Ta có Công thức tính tích có hướng của hai vectơ

    Vậy c→ = (6; −5; −2) khác 0→ vuông góc với cả hai vectơ a→ và b→.

    III. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Xét sự đồng đẳng của 3 vecto a→, b→, c→ với a→ = (1; -1; 1); b→ = (0; 1; 2); c→ = (4; 2; 3)

    Giải

    Ta có a→;b→ = -1112;1120; 1-101=(-3;-1; 1)

    Khi đó a→;b→c→ = (-3; -1; 1). (4; 2; 3) = -3.4 + (-1).2 + 1. 3 = -11

    Như vậy 3 vecto không đồng phẳng

    Bài 2: Cho 3 điểm A(1;0;0); B(0;0;1) và C (2;1;1). Hãy chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tính diện tích của tam giác đó.

    Giải

    Ta có AB→ = (-1; 0; 1); AC→ = (1; 1; 1)

    ⇒ AB→;AC→ = 0111;1-111;-1011 = (-1; 2; -1) ≠0

    ⇒hai vecto AB→; AC→ không cùng phương. Vậy A, B, C là đỉnh của một tam giác

    Diện tích tam giác ABC là:

    SABC=12AB→;AC→=12(-1)2+22+(-1)2=62 (đvdt)

    Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' với A (1; 0; 1); B (2; 1; 2); D (1; -1; 1); A' ( 3; 5; -6). Tính thể tích hình hộp đó.

    Giải:

    Áp dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật ta có

    V=AB→;AD→ . AA'→ = (1; 0; -1. (2; 5; -7) =2+0+7=9 (đvdt)

    Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3). Diện tích tam giác ABC là:

    Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;1), B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3). Thể tích tứ diện ABCD là:

    Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1). Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ D là:

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,350 10/01/2026
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: