Lý thuyết, cách xác định và bài tập các dấu hiệu nhận biết hình thoi

Dấu hiệu nhận biết hình thoi

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

Hình thoi trong hình học Ơclit là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Đây là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau hay hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

2. Tính chất của hình thoi

Trong một hình thoi luôn có:

1. Các góc đối bằng nhau

2. Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

3. Hai đường chéo là các đường phân giác các góc của hình thoi.

4. Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành (có cạnh đối song song và bằng nhau; có các góc đối bằng nhau; hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

3. Công thức tính chu vi hình thoi

Chu vi của hình thoi được tính bằng tổng độ dài các đường bao quanh hình cũng chính bằng độ dài một cạnh nhân với 4.

P = a x 4

Trong đó: P là chu vi hình thoi

a là cạnh hình thoi

4. Công thức tính diện tích hình thoi

Diện tích của hình thoi là diện tích được đo bằng độ lớn của bề mặt hình, là phần mặt phẳng ta có thể nhìn thấy của hình thoi và được tính bằng nửa tích độ dài của hai đường chéo.

S =$\frac{1}{2}$x d₁ x d₂ hoặc = h x a

Trong đó: S là diện tích hình thoi

d₁, d₂ là hai đường chéo hình thoi

h là chiều cao của hình thoi

a là cạnh hình thoi

II. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Dựa vào những tính chất của hình thoi, các nhà toán học đã đề ra những dấu hiệu để nhận biết hình thoi từ hình tứ giác và hình bình hành

1. Hình tứ giác đặc biệt

• Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi
• Tứ giác có hai đường chéo là đường trung trực của nhau là hình thoi
• Tứ giác có hai đường chéo là đường phân giác của cả bốn góc là hình thoi.

2. Hình bình hành đặc biệt

• Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi
• Hình bình hành có hai đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính chu vi của hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng 4 cm

Lời giải

Chu vi hình thoi ABCD = AB x 4 = 4 x 4 = 16 cm

Bài 2: Hai đường chéo của hình thoi có độ dài 6 cm và 8 cm. Tính chu vi hình thoi đó

Lời giải

+) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Khi đó IB = $\frac{BD}{2}$ = 3 cm và IA =$\frac{AC}{2}$ = 4cm

+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông IAB có IA² + IB² = AB² ⇔ 3² + 4² = AB² ⇔ AB = 5 cm

+) Như vậy, chu vi của hình thoi ABCD là 4 x 5 = 20 cm

Bài 3: Tính diện tích của hình thoi biết cạnh đáy bằng 15 cm và chiều cao là 9 cm

Lời giải

Theo đề bài ta có:

Cạnh đáy a = 15 cm

Chiều cao h = 9 cm

⇒ Diện tích hình thoi là S = a x h = 15 x 9 = 135 cm²

Bài 4: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 10 cm, hai đường chép cắt nhau tại O. Tính diện tích hình thoi ABCD biết BO bằng$\frac{3}{4}$ AO

Lời giải

Theo đề bài ta có:

+) ABCD là hình thoi nên AO vuông góc với BO tại O. Khi đó tam giác ABO vuông tại O

+) Vì BO = $\frac{3}{4}$ AO đặt BO = 3a ⇒ AO = 4a

+) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABO,

Ta có: AO² + BO² = AB² ⇔ (4a)² + (3a)² = 10² ⇔ 16a² + 9a² = 100 ⇔ 25a² = 100 ⇔ a² = 4 ⇔ a = 2

Do đó, AO = 8 cm; BO = 6 cm

+) Diện tích hình thoi là: S = $\frac{1}{2}$ x (6 x 8) = 24 cm²

Bài 5: Tính diện tích của hình thoi biết độ dài cạnh bằng 17 cm và một trong hai đường chéo bằng 16 cm

Lời giải

+) ABCD là hình thoi trong đó AB = BC = CD = DA = 17 cm

+) Đường chéo AC = 16 cm (với O là giao điểm của đường chéo)

+) Do đó, AO = 8 cm

+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác AOD có AD² = AO² + DO² ⇔ 17² = 8² + DO² ⇔ DO² = 17² – 8² ⇔ DO² = 225 ⇔ DO = 15 cm

Do đó, BD = OD x 2 = 15 x 2 = 30 cm

Diện tích hình thoi là S =$\frac{1}{2}$ x 16 x 30 = 240 cm²

Bài 6: Tính diện tích hình thoi ABCD biết độ dài cạnh bên bằng 3 cm và góc là 30 độ

Lời giải

+) Cạnh bên hình thoi là a = 3 cm

+) Góc A bằng 30 độ, do đó góc C đối diện với góc A bằng 150 độ

⇒ Diện tích hình thoi ABCD là:

S = a² x sin (C) ⇔ S = 3² x sin 150° = 4,5 cm²

Bài 7: Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 20 cm, đường chéo bằng BD = 6 cm. Tính độ dài đường chéo AC.

Lời giải

+) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Khi đó IB = $\frac{BD}{2}$ = 3 cm

+) Độ dài AB = $\frac{20}{4}$ = 5 cm

+) Xét tam giác vuông IAB áp dụng định lý Pytago ta có IA² + IB² = AB²

⇔ IA² + 3² = 5² ⇔ IA² = 16 ⇔ IA = 4 cm

Vậy đường chéo AC = IA x 2 = 8 cm

Bài 8: Hình nào có diện tích lớn nhất?

1. Hình vuông có cạnh là 5 cm

2. Hình chữ nhật có chiều dài 6 cm và chiều rộng 4 cm

3. Hình bình hành có diện tích 20 cm²

4. Hình thoi có độ dài các đường chéo là 10 cm và 6 cm

Lời giải

1. Diện tích hình vuông là 5 x 5 = 25 cm²

2. Diện tích hình chữ nhật là 4 x 6 = 24 cm²

3. Hình bình hành có diện tích 20 cm²

4. Diện tích hình thoi là 6 x 10 x $\frac{1}{2}$ = 30 cm²

Như vậy, trong hình thoi có diện tích lớn nhất.