Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Nghiệm phương trình bậc hai

A. Lý thuyết

1. Công thức nghiệm

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² - 4ac

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Nếu phương trình ax² bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = b² - 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2. Ví dụ cụ thể

Câu 1: Giải phương trình x² - 5x + 4 = 0

Lời giải:

+ Tính Δ = (-5)² - 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0

+ Do Δ > 0 , phương trình có hai nghiệm là:

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 4; x₂ = 1

Câu 2: Giải phương trình 5x² - x + 2 = 0

Lời giải:

+ Tính Δ = (-1)² - 4.5.2 = -39 < 0

+ Do Δ < 0, phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 3: Giải phương trình x² - 4x + 4 = 0.

Lời giải:

+ Tính Δ = (-4)² - 4.4.1 = 16 - 16 = 0.

+ Do Δ = 0, phương trình có nghiệm kép là x₁ = x₂ = -4/(2.1) = 2

Vậy phương trình có nghiệm kép là x = 2

B. Bài tập tự luận

Câu 1: Giải phương trình x² + 14x + 49 = 0; x² - 2x - 5 = 0

Lời giải:

Câu 2: Cho phương trình -x² + 2x + 2017²⁰¹⁷ = 0 . Không giải phương trình, hãy cho biết phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải:

Ta có: Δ=b² - 4ac

Nhận thấy: b² > 0; ac = -2017²⁰¹⁷ < 0 ⇒ -4ac > 0

Do đó: Δ = b² - 4ac > 0

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

C. Bài tập tự luyện

Bài 3. Cho phương trình – 2x² + 2 = – 3(x + 1). Biết rằng phương trình có hai nghiệm x₁, x₂. Hãy tính x₁ + x₂.

Hướng dẫn giải

Ta có phương trình – 2x² + 2 = – 3(x + 1) hay – 2x² + 3x + 5 = 0

Có: ∆ = 3² – 4.( – 2).5 = 49 > 0

Khi đó, phương trình có hai nghiệm là:

$x_1=\frac{-3+\sqrt{49}}{2.(-2)}=-1, x_2=\frac{-3-\sqrt{49}}{2.(-2)}=\frac{5}{2}$

Vậy $x_1+x_2=(-1)+\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$

Bài 4. Xác định các hệ số a, b, c và tính biệt thức ∆ rồi tìm nghiệm của phương trình:

a) x² - x - 11 = 0;

b) -5x² - 4x + 1 = 0;

c) 3x² - 2$\sqrt{3}$x + 1 = 0;

d) $\sqrt{3}{x}^2-(1-\sqrt{3})x-1=0$.

Hướng dẫn giải

a) x² - x - 11 = 0 có a = 1, b = – 1, c = – 11.

Có: ∆ = (– 1)² – 4.1.( – 11) = 45 > 0

Khi đó, phương trình có hai nghiệm là:

$x_1=\frac{1+\sqrt{45}}{2.1}=\frac{1+3\sqrt{5}}{2}, x_2=\frac{1-\sqrt{45}}{2.1}=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$

b) -5x² - 4x + 1 = 0 có a = – 5, b = – 4, c = 1.

Có: ∆ = (– 4)² – 4.( – 5).1 = 36 > 0

Khi đó, phương trình có hai nghiệm là:

$x_1=\frac{4+\sqrt{36}}{2.(-5)}=-1, x_2=\frac{4-\sqrt{36}}{2.(-5)}=\frac{1}{5}$

c) 3x² - 2$\sqrt{3}$x + 1 = 0 có a = 3, b = - 2$\sqrt{3}$, c = 1.

Có ∆ = (- 2$\sqrt{3}$)² - 4.3.1 = 0

Khi đó, phương trình có nghiệm là $x=-\frac{-2\sqrt{3}}{2.3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

d) $\sqrt{3}{x}^2-(1-\sqrt{3})x-1=0$ có $a=\sqrt{3}, b=-(1-\sqrt{3}), c=1$

Có $∆={[-(1-\sqrt{3}\left)\right]}^2-4.\sqrt{3}.1=4-6\sqrt{3}<0$

Khi đó, phương trình vô nghiệm.

Bài 5. Với giá trị nào của m thì phương trình 4x² + m²x + 4m = 0 có nghiệm x = 1?

Hướng dẫn giải

Vì phương trình 4x² + m²x + 4m = 0 có nghiệm x = 1 nên ta thay x = 1 vào phương trình:

4.1² + m².1 + 4m = 0 hay m² + 4m + 4 = 0

Như vậy, ta có phương trình mới là m²x + 4m = 0 với ẩn là m.

Ta có: m² + 4m + 4 = 0

Có: ∆ = 4² – 4.1.4 = 0

Khi đó, phương trình có nghiệm là: m = $-\frac{4}{2.1}=-2$

Vậy giá trị nào của m là – 2 thì phương trình 4x² + m²x + 4m = 0 có nghiệm x = 1.

Bài 6. Sử dụng công thức nghiệm, xác định số nghiệm của phương trình:

a) 7x² – 9x + 2 = 0;

b) 23x² – 9x – 32 = 0;

c) 1975x² + 4x – 1979 = 0;

d) 31,1x² – 50,9x + 19,8 = 0.

Bài 7. Cho phương trình mx² – 4(m – 1)x + 4m + 8 = 0. Tình các giá trị của m để phương trinh:

a) Có hai nghiệm phân biệt;

b) Có nghiệm kép;

c) Vô nghiệm.

Bài 8. Tìm giá trị của m để phương trình mx² – 3(m + 1)x + m² – 13m – 4 = 0 có một nghiệm là – 2. Hãy tìm nghiệm còn lại.

Bài 9. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) (m – 3)x² – 2mx + m – 6 = 0;

b) mx² + (2m – 1)x + m + 2 = 0.

Bài 10. Cho hai phương trình x² + x – m = 0 và x² – mx + 1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Hai phương trình có nghiệm chung;

b) Hai phương trình tương đương.

Xem thêm lý thuyết và các dạng bài tập Toán lớp 9 có lời giải hay khác:

• Lý thuyết Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn (hay, chi tiết)

• Trắc nghiệm Bài 5 (có đáp án): Công thức nghiệm thu gọn