Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A. Phương pháp giải

+ Với mọi x:

+ Với mọi a; b ta có:

. Dấu = xảy ra khi a+ b = 0 Và . Dấu = xảy ra khi a- b = 0

• Cho biểu thức A(x):

+ Nếu thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu thì giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) là a.

+ Nếu

+ Nếu

+ Với mọi A; B ta có:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 6x - x²

A. 9 B. 11 C. 8 D. 13

Lời giải

Ta có:

A = 6x - x² = -(x² - 6x)

= -(x² - 6x + 9) + 9

= -(x - 3)² + 9

Với mọi x ta có:

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức A là 9

Chọn A.

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 6 - 8x - x²

A. 6 B. 22 C. 18 D. 16

Lời giải

Ta có:

B = 6 - 8x - x² = -(x² + 8x) + 6

= -(x² + 8x + 16) + 6 + 16

= -(x + 4)² + 22

Vì

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức B là 22

Chọn B.

Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 4x² + 8x + 10

A . 6 B. 10 C. 12 D. 18

Lời giải

C = 4x² + 8x + 10 = (2x)² + 2.2x.2 + 4 + 6

= (2x + 2)² + 6

Với mọi x ta có:

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 6

Chọn A.

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có: 2x² + 4x + 9 = (2x² + 4x + 2) + 7 = 2(x² + 2x + 1) + 7 = 2(x + 1)² + 7

Với mọi x,

Do đó, giá trị lớn nhất của A là .

Chọn A.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải:

Với mọi x ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là

Chọn A.

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 10 - x²

A. 0 B.10 C. -10 D. 9

Lời giải:

Ta có:

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức B là 10

Chọn B.

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4x - 2x²

A. 0 B. 1 C. 4 D. 2

Lời giải:

Ta có;

A = 4x - 2x² = -2(x² - 2x)

= -2(x² - 2x + 1) + 2 = -2(x - 1)2 + 2

Vì

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2.

Chọn D.

Câu 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = 4x + 3 - x²

A. 7 B. 4 C. 3 D. -1

Lời giải:

Ta có:

Vì

Do đó, giá trị lớn nhất của C là 7.

Chọn A.

Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = -x² + 6x - 11

A. -11 B. 6 C. -2 D. 9

Lời giải:

D = -x² + 6x - 11 = -(x² - 6x) - 11

= -(x² - 6x + 9) + 9 - 11

= -(x - 3)² - 2

Vì

Giá trị lớn nhất của biểu thức D là – 2

Chọn C

Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức E = 4x - x² + 1

A. 1 B. 5 C. 3 D. 6

Lời giải:

Ta có:

E = 4x - x² + 1 = -(x² - 4x) + 1

= -(x² - 4x + 4) + 4 + 1

= -(x - 2)² + 5

Vì

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức E là 5.

Chọn B.

Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x² + 8x + 11

A. 3 B. 8 C. 11 D. 9

Lời giải:

Ta có:

A = 2x² + 8x + 11 = 2(x² + 4x) + 11

= 2(x² + 4x + 4) - 8 + 11

= 2(x + 2)² + 3

Vì

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3

Chọn A.

Câu 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x² - 2x + y² + 4y + 10

A. 1 B. 10 C. 5 D. 8

Lời giải:

Ta có:

E = x² - 2x + y² + 4y + 10

= (x² - 2x + 1) + (y² + 4y + 4) + 5

= (x - 1)² + (y + 2)² + 5

Vì

Do đó, giá trị nhỏ nhất của E là 5.

Chọn C.

Câu 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = 4x² + y² + 6y + 20

A. 20 B. 11 C. 10 D. 16

Lời giải:

Ta có;

D = 4x² + y² + 6y + 20 = 4x² + (y² + 6y + 9) + 11

= 4x² + (y + 3)² + 11

Vì:

Suy ra:

Vậy giá trị nhỏ nhất của D là 11

Chọn B.

Câu 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x² + 5y² - 4xy - 8y + 28

A.10 B. 8 C. 20 D. 15

Lời giải:

Ta có:

G = x² + 5y² - 4xy - 8y + 28

G = (x² - 4xy + 4y²) + (y² - 8y + 16) + 8

= (x - 2y)² + (y - 4)² + 8

Vì

Suy ra:

Vậy giá trị nhỏ nhất của G là 8.

Chọn B.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = –2x² – 5x +3.

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3x² + 7x +15.

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 5x² + x + 2.

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3x² + 2y² + 8y + 23.

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = –x² + 5x + 5.

Xem thêm các dạng bài tập Toán khác:

• Chứng minh đẳng thức lớp 8 dựa vào hằng đẳng thức cực hay

• Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung