Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

    Với tài liệu về Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 161 25/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

    I. Lý thuyết

    Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

    + Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \Leftrightarrow P < 0

    + Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0 \end{array} \right.

    + Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.

    + Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.

    II. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Tìm m để phương trình {x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 7m + 12 = 0 có 2 nghiệm trái dấu

    Lời giải:

    Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \Leftrightarrow P < 0

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 12 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 4} \right) < 0 \end{array}

    Xảy ra hai trường hợp:

    Trường hợp 1: \left\{ \begin{array}{l} m - 3 > 0\\ m - 4 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 3\\ m < 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 4

    Trường hợp 2: \left\{ \begin{array}{l} m - 3 < 0\\ m - 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m > 4 \end{array} \right.(vô lý)

    Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

    Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

    Lời giải:

    3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0

    Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta ' > 0

    Có \Delta ' = 4{m^2} - 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right)

    \begin{gathered} = 4{m^2} - 3{m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {\left( {m - 3} \right)^2} > 0\forall m \ne 3 \hfill \\ \end{gathered}

    Với mọi m ≠ 3, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

    \left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{4m}}{3} \hfill \\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{{m^2} - 2m - 3}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.

    Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:

    P > 0 \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right) > 0

    Xảy ra hai trường hợp:

    Trường hợp 1: \left\{ \begin{gathered} m + 1 > 0 \hfill \\ m - 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - 1 \hfill \\ m > 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m > 3

    Trường hợp 2: \left\{ \begin{gathered} m + 1 < 0 \hfill \\ m - 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m < - 1

    Vậy với m < -1 hoặc m < 3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

    III. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Tìm m để phương trình {x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 7m + 12 = 0 có 2 nghiệm trái dấu

    Giải

    Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \Leftrightarrow P < 0.

    Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu \Leftrightarrow P < 0

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 12 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 4} \right) < 0 \end{array}

    Xảy ra hai trường hợp:

    Trường hợp 1: \left\{ \begin{array}{l} m - 3 > 0\\ m - 4 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 3\\ m < 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 4

    Trường hợp 2: \left\{ \begin{array}{l} m - 3 < 0\\ m - 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m > 4 \end{array} \right.(vô lý)

    Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

    Bài 2: Tìm m để phương trình 3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

    Giải

    3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0

    Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta ' > 0

    Có \Delta ' = 4{m^2} - 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right)

    \begin{gathered} = 4{m^2} - 3{m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {\left( {m - 3} \right)^2} > 0\forall m \ne 3 \hfill \\ \end{gathered}

    Với mọi m ≠ 3, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

    \left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{4m}}{3} \hfill \\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{{m^2} - 2m - 3}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.

    Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:

    P > 0 \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right) > 0

    Xảy ra hai trường hợp:

    Trường hợp 1: \left\{ \begin{gathered} m + 1 > 0 \hfill \\ m - 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - 1 \hfill \\ m > 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m > 3

    Trường hợp 2: \left\{ \begin{gathered} m + 1 < 0 \hfill \\ m - 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m < - 1

    Vậy với m < -1 hoặc m < 3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

    Bài 3: Tìm m để phương trình {x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

    Giải

    Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.

    Với \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - \left( {2m - 4} \right) > 0

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 3 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 > 0\forall m \end{array}

    Với P > 0 \Leftrightarrow 2m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2

    Với S > 0 \Leftrightarrow 2 > 0 (luôn đúng)

    Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

    Bài 4: Tìm m để phương trình {x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

    Lời giải:

    Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.

    Với \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m > 0

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 - 4m > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 5 > 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0\forall m \end{array}

    Với P > 0 \Leftrightarrow m > 0

    Với S < 0 \Leftrightarrow 2m + 3 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 3}}{2} kết hợp với m > 0

    Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

    Bài 5: Tìm m để phương trình {x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

    Lời giải:

    Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.

    Với \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - \left( {2m - 4} \right) > 0

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 3 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 > 0\forall m \end{array}

    Với P > 0 \Leftrightarrow 2m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2

    Với S > 0 \Leftrightarrow 2 > 0 (luôn đúng)

    Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

    Bài 6. Cho phương trình bậc hai {x^2} - mx - 1 = 0\left( * \right) (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

    Giải

    Ta có a.c = 1.(-1) < 0 với mọi m nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

    Vậy phương trình có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của tham số m.

    Bài 7. Cho phương trình {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 3 - m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

    Giải

    Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

    a.c < 0

    => -3 – m < 0

    => m > -3

    Vậy m > -3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.

    Bài 8: Tìm m để phương trình {x^2} - 2mx - 6m - 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn x_1^2 + x_2^2 = 13

    Bài 9: Tìm m để phương trình {x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt:

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 161 25/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: