Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Đường phân giác trong tam giác vuông

    Với tài liệu về Đường phân giác trong tam giác vuông bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 1,697 19/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Đường phân giác trong tam giác vuông

    I. Lý thuyết

    Trong tam giác vuông, đường phân giác của góc vuông có những tính chất đặc biệt và quan trọng, liên quan đến các tỉ số của các cạnh và cách chúng chia tam giác.

    • Định nghĩa: Đường phân giác của góc vuông trong tam giác vuông là đường thẳng đi qua đỉnh góc vuông và chia đôi góc đó.
    • Tính chất: Đường phân giác của góc vuông trong tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng bằng nhau.
    • Công thức liên quan: Nếu đường phân giác xuất phát từ góc vuông chia cạnh huyền là AB thành hai phần bằng nhau, thì 𝐴𝐵=2⋅𝐴𝐷, với D là điểm chia đôi cạnh huyền.

    II. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 10cm, đường phân giác trong AD, đường phân giác ngoài AE. Tính các độ dài DB, EB.

    Lời giải

    Tính chất đường phân giác trong tam giác vuông
    Tính chất đường phân giác trong tam giác vuông (ảnh 2)

    Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = 10cm, BC = 12cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Tính độ dài AI.

    Lời giải

    Tính chất đường phân giác trong tam giác vuông (ảnh 3)
    Tính chất đường phân giác trong tam giác vuông (ảnh 4)
    Tính chất đường phân giác trong tam giác vuông (ảnh 5)

    III. Bài tập vận dụng

    Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tính AB, BC biết AD = 4 cm và DC = 5 cm.

    Lời giải

    Tính chất đường phân giác trong tam giác vuông (ảnh 6)

    Áp dụng tính chất đường phân giác BD của tam giác ABC, ta có:

    Tính chất đường phân giác trong tam giác vuông (ảnh 7)

    với t > 0

    Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

    BC2 = AC2 + AB2 hay (5t)2 = 92 + (4t)2 ⇔ (3t)2 = 92 ⇒ t = 3 (vì t > 0)

    Khi đó: AB = 12cm, BC = 15cm

    Bài 2: Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD và CE. Biết AD/DC = 2/3, EA/EB = 5/6. Tính các cạnh của tam giác ABC, biết chu vi của tam giác là 45cm.

    Lời giải

    Tính chất đường phân giác trong tam giác vuông (ảnh 8)

    Áp dụng tính chất của các đường phân giác BD và CE của tam giác ABC ta được:

    Tính chất đường phân giác trong tam giác vuông (ảnh 9)

    Theo giả thiết ta có: PABC = AB + AC + BC = 15t = 45 ⇒ t = 3

    Vậy AB = 12cm; BC = 18cm; AC = 15cm

    Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8. Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Độ dài AD là:

    Giải:

    Trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác có đáp án

    Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pytago có: BC2 = AB2 + AC2

    Trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác có đáp án

    Bài 4: Cho tam giác ABC, Trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác có đáp án , AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH (H Є BC). Tia phân giác của Trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác có đáp án cắt HB tại D. Tia phân giác của Trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác có đáp án cắt HC tại E. Tính DH?

    Giải:

    Trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác có đáp án

    Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

    AB2 + AC2 = BC2

    ⇔ 152 + 202 = BC2 ⇒ BC = 25

    Trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác có đáp án

    Áp dụng định lý Pytago trong tam giác AHB vuông tại H, ta có:

    AB2 = AH2 + HB2

    ⇔ 152 = 122 + HB2

    ⇒ HB2 = 81 ⇒ HB = 9

    ⇒ HC = BC – HB = 25 – 9 = 16

    Vì AD là phân giác của tam giác ABH nên:

    Trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác có đáp án

    Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D.

    a) Tính BC, DB, DC.

    b) Vẽ đường cao AH. Tính AH, HD và AD.

    Lời giải:

    Bài 4 trang 57 Toán 8 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 8

    a) Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

    BC2=AC2+AB2 suy ra BC = 5 cm

    AD là tia phân giác góc A nên DBDC=ABAC suy ra DB5-DB=34

    ⇒4DB=15-3DB⇒DB=157(cm).

    Do đó DC=BC-DB=5-157=207(cm).

    Vậy BC = 5 cm, DB=157cm, DC=207cm

    b) Ta có: SABC=12AB.AC=12AH.BC

    ⇒AH=AB.ACBC=3.45=125(cm)

    Tam giác ABH vuông tại H nên

    HB=AB2-AH2=32-1252=95(cm)

    Ta có: HD=DB-HB=157-95=1235(cm)

    Tam giác ABH vuông tại H nên

    AD=HD2+AH2=12352+1252=1227 cm

    Vậy AH=125cm, HD=1235cm, AD=1227cm.

    Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 6 cm. Gọi E là trung điểm AC, tia phân giác của góc A cắt BC tại D.

    a. Tính BC?

    b. Chứng minh: tam giác BAD = tam giác EAD

    c. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của G trên Ab, AC. Chứng minh rằng: điểm D cách đều AB và AC.

    Giải

    Tia phân giác là gì? Đường phân giác là gì? Tính chất đường phân giác của tam giác

    a. Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

    AB^2 + AC^2 = BC^2 (định lý pytago)

    => BC = căn bậc hai của 45 (cm)

    b. Vì E là trung điểm của AC nên:

    AE = 1/2 AC = 3cm => AE = AB

    Xét tam giác BAD và tam giác EAD có:

    góc BAd = góc EAD (AD là phân giác)

    AD chung

    AB = AE (chứng minh tên)

    Do đó, tam giác BAD = tam giác EAD (cgc)

    c. Vì D nằm trên tia phân giác của góc BAC nên DH = DK (tính chất tia phân giác của một góc)

    Vậy điểm D cách đều AB và AC.

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,697 19/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: