Hình lăng trụ là gì? Lăng trụ đứng là gì, lăng trụ đều là gì? Tính chất và công thức hình lăng trụ

Hình lăng trụ là gì? Lăng trụ đứng là gì, lăng trụ đều là gì? Tính chất và công thức hình lăng trụ

I. Hình lăng trụ

1. Hình lăng trụ là gì?

Hình lăng trụ là một đa diện gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành, các cạnh bên song song hoặc bằng nhau

Theo đó, hai đáy này có thể là hình vuông, hình bình hình, hình tam giác hoặc hình chữ nhật,.. các mặt bên đều là hình bình hành và có các cạnh bên song song và bằng nhau.

2. Tính chất hình lăng trụ

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

3. Thể tích hình lăng trụ

Thể tích hình lăng trụ bằng diện tích của mặt đáy và khoảng cách giữa hai mặt đáy hoặc là chiều cao.

V = B.h

Trong đó:

B: diện tích mặt đáy của hình lăng trụ

H: chiều cao của của hình lăng trụ

V: thể tích hình lăng trụ

II. Hình lăng trụ đứng

1. Hình lăng trụ đứng là gì?

Theo như khái niệm về hình lăng trụ ở trên, thì hình lăng trụ đứng là hình có:

• Hai đáy của hình lăng trụ này là hai đa giác phẳng và bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song nhau.

• Những mặt bên của hình lăng trụ đứng này đều là hình chữ nhật và vuông góc với những mặt phẳng có chứa những đa giác đáy.

Đối với hình lăng trụ dạng đứng, độ dài của cạnh bên chính là chiều cao của hình lăng trụ này, những cạnh bên song song và bằng nhau. Người ta thường gọi tên hình lăng trụ đứng theo tên của đa giác đáy như lăng trụ đứng tam giác, lăng trụ đứng tứ giác,.. Hình lăng trụ đứng có đáy là những đa giác đều sẽ gọi là lăng trụ đều.

2. Tính chất hình lăng trụ đứng

- Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng vuông góc với đáy.

- Tất cả những mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật.

- Những mặt phẳng chứa đáy song song với nhau.

- Chiều cao bằng cạnh bên của hình lăng trụ đứng.

Hình lăng trụ đứng là hình có đáy là hình bình hành thường có tên khác là hình hộp đứng. Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều sẽ được gọi tên theo đa giác đáy.

3. Công thức tính diện tích hình lăng trụ đứng

Diện tích các mặt xung quanh của hình lăng trụ đứng được tính bằng chiều cao của hình lăng trụ nhân với chu vi đáy.

S_xq = 2.p.h

Tronng đó:

• p là nửa chu vi đáy

• h là chiều cao

Từ công thức tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng ta suy ra được công thức tính diện tích toàn phần của nó.

S_tp = S_xq + 2S_đ

Trong đó:

• S_xq là diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng.

• S_đ là diện tích đa giác ở đáy.

4. Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng

Thể tích của hình lăng trụ đứng được tính bằng diện tích của đáy nhân với chiều cao của hình lăng trụ.

V = S . h

Trong đó:

• S là diện tích đáy

• h là chiều cao

5. Một số hình lăng trụ đứng đặc biệt

a. Hình hộp đứng

Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Tính chất: Hình hộp đứng có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung quanh là 4 hình chữ nhật.

b. Hình hộp chữ nhật

Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Tính chất: Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.

+ Hình chữ nhật có 12 cạnh, 8 đỉnh và 6 mặt.

+ Các đường chéo có hai đầu mút là 2 đỉnh đối nhau của hình hộp chữ nhật đồng quy tại một điểm

+ Diện tích của hai mặt đối diện trong hình hộp chữ nhật bằng nhau

+ Chu vi của hai mặt đối diện trong hình hộp chữ nhật bằng nhau

Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.h

c. Hình lập phương

Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật 2 đáy và 4 mặt bên đều là hình vuông.

Tính chất: Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông.

+ Khối lập phương là hình đa diện đều loại {4; 3}. Các mặt là hình vuông, mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt.

+ Khối lập phương có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.

Thể tích khối lập phương: V = a³

III. Hình lăng trụ đều

1. Hình lăng trụ đều là gì?

Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

2. Tính chất hình lăng trụ đều

• Hai đáy là hai đa giác đều bằng nhau do đó các cạnh đáy bằng nhau.

• Cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

• Các mặt bên là các hình chữ nhật.

3. Một số hình lăng trụ đều

- Hình lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ có hai đáy là 2 hình tam giác đều.

- Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lăng trụ đều có đáy là hình vuông.

- Hình lăng trụ ngũ giác đều là hình lăng trụ đều có đáy là hình ngũ giác.

+ Có 7 mặt: 5 mặt bên và 2 mặt đáy

- Hình lăng trụ lục giác đều là hình lăng trụ đều có đáy là lục giác.

+ Có 8 mặt: 6 mặt bên và 2 mặt đáy

IV. Bài tập về hình lăng trụ

Bài 1: Các mặt bên của một bát diện đều là hình gì?

Đáp án: B

Bài 2: Xét các mệnh đề sau:

1. Hai khối đa diện đều có thể tích bằng nhau là hai đa diện bằng nhau.

2. Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

3. Hai khối chóp có thể tích bằng nhau thì có chiều cao bằng nhau.

4. Hai khối lập phương có thể tích bằng nhau là hai đa diện bằng nhau.

5. Hai khối hộp chữ nhật có thể tích bằng nhau là hai đa diện bằng nhau.

Có bao nhiêu mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

Bài 3: Tính thể tích của hình lập phương có độ dài đường chéo bằng $\sqrt{12}$

A. 8

B. 24

C.12

D.16

Bài 4: Thể tích khối hộp chữ nhật ABC.A'B'C'D có các cạnh AB = 3, AD = 4, AA' = 5 là

A.

B.

C.

D.

Bài 5: Ông A dự định sử dụng hết 6,5 m² kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có dạng kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng trăm)?

A.2.26 m³

B.1.61 m³

C.1.33 m³

D. 1.5 m³

Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.MNPQ có đáy hình thang AB// CD và AB = 4cm; CD = 6cm và chiều cao của hình thang là 5cm, chiều cao của hình lăng trụ là: 4cm. Tính thể tích của hình lăng trụ?

A. 125cm³ B. 120cm³

C. 100cm³ D. Đáp án khác

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là lục giác đều cạnh 6cm, chiều cao lăng trụ là 6cm. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ?

A. 160cm² B. 216cm²

C. 250cm² D. 320cm²

Lời giải:

Do đáy của hình lăng trụ là lục giác đều cạnh 6cm nên chu vi đáy là:

P = 6.6 = 36cm

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là:

S_xq = P.h = 36.6 = 216 cm²

Chọn đáp án B

Bài 8: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi. Độ dài hai đường chéo là 6cm và 10cm. Biết chiều cao của hình lăng trụ là 5cm. Tính thể tích của hình lăng trụ?

A. 100cm³ B. 150cm³

C. 200cm³ D. 180cm³

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, AB = 6cm; AC = 8cm, AA’ = 5cm và diện tích xung quanh là 120cm². Hỏi tam giác ABC là tam giác gì

A. Tam giác cân

B. Tam giác nhọn

C.Tam giác tù

D. Tam giác vuông

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.MNPQ có đáy ABCD là hình bình hành có AB = 6cm, BC = 4cm , AM = 5cm. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ?

A. 100cm² B. 120cm²

C. 150cm² D. 200cm²

Lời giải:

Chu vi đáy là:

P = 2(AB + BC) = 2.(6 + 4) = 20cm

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho là:

S_xq = S_d . h = 20. 5 = 100cm²

Chọn đáp án A

Bài 11: Một hình hộp chữ nhật có kích thước của đáy là 10 cm và 15 cm. Biết diện tích xug quang bằng tổng diện tích hai đáy. Độ dài chiều cao là:

A. 12 cm

B. 6 cm

C. 8 cm

D. 10 cm

Lời giải

Đặt AA' = x.

Diện tích xung quang bằng:

2 (10 + 15).x = 50x (cm²)

Tổng diện tích hai đáy bằng 2.10.15 = 300 (cm²)

Ta có 50x = 300 ⇔ x = 6

Vậy chiều cao bằng 6 cm.

Đáp án cần chọn là: B

Bài 12: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A'B'C' có chiều cao bằng 2 cm, . Tính diện tích xung quang của hình lăng trụ.

A. 15 cm²

B. 6 cm²

C. 12 cm²

D. 16 cm²

Lời giải

Tam giác vuông ABB' có nên là tam giác vuông cân tại B nên AB = BB' = 2 cm.

Vì tam giác ABC đều nên chu vi bằng 3AB = 3.2 = 6 cm

Diện tích xung quanh bằng 6.2 = 12 (cm²)

Đáp án cần chọn là: C

Bài 13: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A'B'C' có chiều cao bằng 2 cm, . Tính diện tích xung quang của hình lăng trụ.

A. 15 cm²

B. 6 cm²

C. 12 cm²

D. 16 cm²

Lời giải

Tam giác vuông ABB' có nên là tam giác vuông cân tại B nên AB = BB' = 2 cm.

Vì tam giác ABC đều nên chu vi bằng 3AB = 3.2 = 6 cm

Diện tích xung quanh bằng 6.2 = 12 (cm²)

Đáp án cần chọn là: C

Bài 14: Một hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh bằng 120 cm², chiều cao bằng 6cm. Tìm các kích thước của đáy để hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất.

A. 8 cm

B. 7 cm

C. 6 cm

D. 5 cm

Lời giải

Gọi a và b là các kích thước của đáy.

Ta có V = 6ab nên V lớn nhât ⇔ ab lớn nhất

S_xq = 120 nên 2 (a+b).6 = 120 hay a + b = 10

Ta có:

ab = a (10 – a) = -a² +10a = -(a – 5)² + 25 ≤ 25

Suy ra V = 6ab ≤ 6.25 = 150.

Thể tích lớn nhất bằng 150 cm³ khi a = b = 5, tức là các cạnh đáy bằng 5 cm.

Đáp án cần chọn là: D

Bài 15: Một hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh bằng 100 cm², chiều cao bằng 5cm. Tìm các kích thước của đáy để hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất.

A. 8 cm

B. 7 cm

C. 6 cm

D. 5 cm

Lời giải

Gọi a và b là các kích thước của đáy.

Ta có V = 5ab nên V lớn nhât ⇔ ab lớn nhất

S_xq = 100 nên 2 (a+b).5 = 120 hay a + b = 10

Ta có:

ab = a (10 – a) = -a² +10a = -(a – 5)² + 25 ≤ 25

Suy ra V = 5ab ≤ 5.25 = 125.

Thể tích lớn nhất bằng 125 cm³ khi a = b = 5, tức là các cạnh đáy bằng 5 cm.

Đáp án cần chọn là: D