Đường cao tam giác cân

Đường cao trong tam giác cân

I. Lý thuyết

Giả sử các bạn có tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc tại H như hình trên:

Công thức tính đường cao AH:

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:

⇒ HB=HC= ½BC

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

AH²+BH²=AB²

⇒AH²=AB²−BH²

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho Δ ABC cân tại A có BC = 30(cm), đường cao AH = 20(cm). Tính đường cao ứng với cạnh bên của tam giác cân đó.

Giải:

Xét Δ ABC cân tại A có BC = 30(cm)

⇒ BH = CH = 15(cm).

Áp dụng đinh lý Py – ta – go ta có:

Kẻ , giờ ta phải tính BK = ?

Ta có:

Mặt khác

Do đó, ta có ⇔

Ví dụ 2: Cho ΔABC cân tại A, trung tuyến AM. Biết BC = 24cm, AM = 5cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC

A. AB = AC = 13cm

B. AB = AC = 14cm

C. AB = AC = 15cm

D. AB = AC = 16cm

Giải:

ΔABC cân tại A (gt) mà AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác đó.

Vì AM là trung tuyến của ΔABC nên M là trung điểm của BC

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 4 cm, BC = 14 cm. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Tính AH:

Giải:

$$𝐴𝐻=\sqrt{𝐴{𝐵}^2-{\left(\frac{𝐵𝐶}{2}\right)}^2}=\sqrt{4^2-7^2}=3𝑐𝑚$$

Bài 2: Cho tam giác DEF cân tại D, DE = DF = 5 cm, EF = 12 cm. Kẻ DI vuông góc với EF tại I. Tính DI:

Giải:

$$𝐷𝐼=\sqrt{𝐷{𝐸}^2-{\left(\frac{𝐸𝐹}{2}\right)}^2}=\sqrt{5^2-6^2}=1𝑐𝑚$$.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, độ dài cạnh AB là 5 cm, cạnh đáy BC là 6 cm. Tính độ dài đường cao AH.

Giải:

Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABH, ta có:

$$𝐴{𝐻}^2=𝐴{𝐵}^2-𝐵{𝐻}^2$$

$$𝐵𝐻=\frac{𝐵𝐶}{2}=3\text{cm}$$$$𝐴𝐻=\sqrt{𝐴{𝐵}^2-𝐵{𝐻}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\text{cm}$$

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, có đường cao AH, biết AB = AC = 5; BC = 4 cm. Hãy tính độ dài đường cao AH và diện tích của tam giác ABC.

Bài 5: Cho tam giác ABC, cạnh AB = 4 cm, cạnh BC = 7 cm, cạnh AC = 5 cm. Tính đường cao AH kể từ A cắt BC tại H và tính diện tích ABC.