Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp phương trình đoạn chắn

Phương trình đoạn chắn

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Cho đường thẳng d cắt trục Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A(a; 0) và B(0; b) với $a\ne 0$, $b\ne 0$, phương trình đường thẳng d theo đoạn chắn là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

II. Các công thức.

Cho đường thẳng d có:

$d\cap \text{Ox}$ tại A(a; 0) ($a\ne 0$)

$d\cap \text{Oy}$ tại B(0; b) ($b\ne 0$)

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng d theo đoạn chắn: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A( -2 ;0) và B( 0 ; 5) là:

A. 5x - 2y - 10 = 0 B. 5x - 2y + 10 = 0 C. 2x - 5y - 10 = 0 D. 2x + 5y + 4 = 0

Lời giải

Đường thẳng AB cắt hai trục tọa độ tại A( -2 ; 0) và B( 0 ; 5) nên phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là :

= 1

⇔ 5x - 2y + 10 = 0

Chọn B.

Ví dụ 2 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 5; -3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

A. 3x - 5y - 30 = 0 B. 3x + 5y - 30 = 0 C. 5x - 3y - 34 = 0 D. 5x - 3y + 34 = 0

Lời giải

Gọi A ∈ Ox ⇒ A(x_A; 0); B ∈ Oy ⇒ B(0; y_B)

Ta có M là trung điểm AB ⇒

Suy ra (AB): = 1 ⇔ 3x - 5y - 30 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 3 : Có mấy đường thẳng đi qua điểm M( 2; -3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.

A. 2 B. 3 C. 1 D. Không có.

Lời giải

Gọi tọa độ điểm A( a; 0) và B( 0; b).

Phương trình đoạn chắn (AB): =1

Do tam giác OAB vuông cân tại O ⇔ |a| = |b| ⇔

TH1: b = a ⇒ + = 1 ⇔ x + y = a

mà M(2; -3) ∈ (AB) ⇒ 2 - 3 = a ⇔ a = -1 ⇒ b = -1

Vậy phương trình (AB) : x + y + 1= 0 .

TH2: b = - a ⇒ - = 1 ⇔ x - y = a

mà M(2; -3) ∈ (AB) ⇒ 2 + 3 = a ⇔ a = 5 ⇒ b = - 5

Vậy phương trình ( AB) : x - y - 5= 0 .

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn đầu bài.

Chọn A.

Ví du 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; -3) và B(-2; 0).

A. 2x + 3y - 6 = 0 B. 3x + 2y - 6 = 0 C. 3x + 2y + 6 = 0 D. 2x - 3y - 6 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng AB:

=> Phương trình đoạn chắn đường thẳng AB: = 1

Hay (AB) : 3x + 2y + 6 = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: x - y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng đoạn chắn.

A. - + = 1 B. + = 1 C. - - = 1 D. - = 1

Lời giải

Đường thẳng d cắt trục Ox tại A(- 3; 0) và cắt trục Oy tại B(0; 3).

=> Phương trình đoạn chắn đường thẳng d:

- + = 1

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho đường thẳng d: x + y - 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng phương trình đoạn chắn?

A. - = 1 B. - = 1 C. + = 1 D. - - = 1

Lời giải

Đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm A(6;0) .

Đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm B(0;6).

Đường thẳng d đi qua hai điểm A(6;0) và B(0; 6) nên phương trình đường thẳng d dạng đoạn chắn là: + = 1

Chọn C.

Ví dụ 7. Phương trình tổng quát của đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A( 3 ; 0) và B(0 ; -2) là:

A. 3x - 2y + 1 = 0 B. -2x + 3y + 6 = 0 C. 2x - 3y + 6 = 0 D. 2x - 3y + 4 = 0

Lời giải

Đường thẳng AB cắt hai trục tọa độ tại A(3 ; 0) và B( 0 ; -2) nên phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là :

= 1

⇔ -2x + 3y + 6 = 0

Chọn B.

Ví dụ 8: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 1;-2) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

A. – 4x + 2y + 8 = 0 B. 4x + 2y + 8 = 0 C. 2x - y + 1 = 0 D. 2x + y = 0

Lời giải

Gọi A (a ; 0) ∈ Ox; B(0; b) ∈ Oy

Ta có M là trung điểm AB nên :

⇔ a = 2 và b = - 4

Suy ra phương trình AB : = 1 hay – 4x + 2y + 8 = 0

Chọn A.

Ví dụ 9 : Có mấy đường thẳng đi qua điểm M(3;3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.

A. 2 B. 3 C. 1 D. Không có.

Lời giải

Gọi tọa độ điểm A( a; 0) và B( 0; b).

Phương trình đoạn chắn đường thẳng AB: =1

Do tam giác OAB vuông cân tại O ⇔ |a| = |b| ⇔

TH1: b = a ⇒ + = 1 ⇔ x + y = a

Mà M(3;3) thuộc AB nên 3 + 3 = a ⇔ a= 6 ⇒ b= 6

Vậy phương trình (AB) : x + y - 6 = 0 .

TH2: b = - a ⇒ - = 1 ⇔ x - y = a

Mà M( 3; 3) thuộc AB nên 3 - 3= a ⇔ a= 0 ⇒ b= 0 ( loại vì khi đó 3 điểm A; B và O trùng nhau)

Vậy có một đường thẳng thỏa mãn đầu bài.

Chọn C.

Ví dụ 10: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A( 0; 4) và B( -3;0).

A. 4x + 3y - 6 = 0 B. 4x - 3y - 6 = 0 C. 4x - 3y + 12 = 0 D. 4x - 3y + 6 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng AB:

=> Phương trình đoạn chắn đường thẳng AB: - + = 1

Hay (AB) : 4x - 3y + 12 = 0

Chọn C.

Ví dụ 11: Cho đường thẳng d: 2x - y + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng đoạn chắn.

A. - + = 1 B. + (- ) = 1 C. - - = 1 D. - = 1

Lời giải

Đường thẳng d cắt trục Ox tại A(-2;0) và cắt trục Oy tại B(0; 4).

=> Phương trình đoạn chắn đường thẳng d:

- + = 1

Chọn A

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A(3; 0) và B(0; 2).

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng AB cắt hai trục tọa độ tại A(3; 0) và B(0; 2) nên phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là:

$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1\iff 2x+3y=6$

Vậy phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A(3; 0) và B(0; 2) là 2x + 3y = 6.

Bài 2. Cho đường thẳng d: 3x + 2y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng phương trình đoạn chắn.

Hướng dẫn giải:

Gọi giao điểm của d với Ox là A, giao diểm của d với Oy là B.

• Xét điểm A có tung độ y = 0 ta có

3x + 2.0 – 5 = 0 hay x = $\frac{5}{3}$. Tọa độ của điểm A là $\left(\frac{5}{3};0\right)$.

• Xét điểm B có hoành độ x = 0 ta có

3.0 + 2y – 5 = 0 hay y = $\frac{5}{2}$. Tọa độ của điểm B là $\left(0;\frac{5}{2}\right)$.

Đường thẳng d đi qua hai điểm A $\left(\frac{5}{3};0\right)$ và B $\left(0;\frac{5}{2}\right)$ nên phương trình đường thẳng d dạng đoạn chắn là $\frac{3x}{5}+\frac{2y}{5}=1$.

Bài 3. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3; 2) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

Hướng dẫn giải:

Ta có A ∈ Ox, B ∈ Oy nên A(x_A; 0); B(0; y_B).

Vì M là trung điểm AB nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=2x_M\\ y_A+y_B=2y_M\end{array}\right.$nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_A+0=2.3\\ 0+y_B=2.2\end{array}\right.$suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_A=6\\ y_B=4\end{array}\right.$.

Suy ra (AB): $\frac{x}{6}+\frac{y}{4}$ = 1 nên 4x + 6y – 24 = 0.

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A(7; 0) và B(0; 4).

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng AB cắt hai trục tọa độ tại A(7; 0) và B(0; 4) nên phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là:

$\frac{x}{7}+\frac{y}{4}=1\iff 4x+7y=28$

Vậy phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A(7; 0) và B(0; 4) là 4x + 7y – 28 = 0.

Bài 5. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(–2; 5) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

Hướng dẫn giải:

Ta có A ∈ Ox, B ∈ Oy nên A(x_A; 0); B(0; y_B).

Vì M là trung điểm AB nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=2x_M\\ y_A+y_B=2y_M\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_A+0=2.(-2)\\ 0+y_B=2.5\end{array}\iff \right.\left\{\begin{array}{l}{x}_A=-4\\ y_B=10\end{array}\right.$

Suy ra (AB): $\frac{x}{-4}+\frac{y}{10}=1$ hay 10x – 4y + 40 = 0.

Bài 6. Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A(–3; 0) và B(0; 9).

Bài 7. Cho đường thẳng d: –x + 3y + 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng phương trình đoạn chắn.

Bài 8. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(–5; 3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

Bài 9. Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A(8; 0) và B(0; –4).

Bài 10. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(7; 12) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Các công thức về phương trình đường thẳng
• Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng