Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa và tính chất

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác, có tâm là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác. Tâm này cũng là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đều, do tất cả các cạnh và góc của tam giác đều bằng nhau.

2. Công thức

$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$

Trong đó a là độ dài cạnh

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB= 3, AC=5 và BC=6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn giải quyết

Theo công thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC là:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

Ví dụ 2: Cho hình thang vuông ABCD có , BC = 2AD = 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC, M là trung điểm của HC. Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM

Gọi N là trung điểm của BH thì MN là đường trung bình của tam giác HBC => MN ⊥ AB

Mặt khác BH ⊥ AM

=> N là trực tâm của tam giác ABM

=> AN ⊥ BM

Do

Nên ADMN là hình bình hành => AN // DM

Từ đó ta có: DM ⊥ MB hay tam giác DBM vuông tại M nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBM là trung điểm O của BD

Ta có:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC có góc B bằng 45° và AC = 4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải:

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có: b = AC = 4

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có:

Vậy

Bài 2: Cho tam giác MNP có MN = 6, MP = 8 và PN = 10. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

Giải:

Ta có: MN² = 6² = 36; MP² = 8² = 64;

PN² = 10² = 100

Vì 36 + 64 = 100

Nên MN² + MP² = PN²

Do đó tam giác MNP vuông tại M (theo Pytago)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là:

Bài 3: Cho tam giác ABC có BC = 10. Gọi (I) là đường tròn có tâm I thuộc cạnh BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Biết đường tròn (I) có bán kính 3 và 2IB = 3IC. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải:

+ Vì 2IB = 3IC

⇒

IC = BC - IB = 10 -6 = 4

+ Vì M và N lần lượt là tiếp điểm của đường tròn tâm I với AB và AC

Tam giác MIB vuông tại M ⇒

(do góc B nhọn)

Tam giác NIC vuông tại N ⇒

⇒

(do góc C nhọn)

+ Ta có:

(cạnh huyền cạnh góc vuông)

là tia phân giác của góc BAC

Đặt AB = c, AC =b

Suy ra (tính chất phân giác)

⇒2c = 3b

+ Mặt khác theo định lý Cô-sin trong tam giác ABC ta có:

c² = b² + BC² -2b.BC.cosC

Thay số ta được hệ phương trình sau:

và

Vậy

Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có:

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là"

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1; AC =4. Gọi M là trung điểm AC

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính bán kính R₁ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

c) Tính bán kính R₂ của đường tròn ngoại tiếp tam giác CBM

Giải:

a) Tam giác ABC vuồng tại A nên diện tích tam giác ABC là:

b) Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:

BC² = AB² + AC²= 1² + 4² = 17

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

c) Có M là trung điểm của AC nên:

(tam giác AMB vuông tại A) ⇒

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CMB là:

Bài 5: Cho tam giác ABC đã biết A ( 1;3 ), B (-1;1), C (2;2). Tìm toạ độ của tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 6cm, BC =8cm. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác bằng bao nhiêu?

Bài 7: Cho tam giác CBH có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Ba đường của tam giác là MF, NE và PD cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác NDEP là tứ giác nội tiếp.

Bài 8: Cho tam giác ABC đều với cạnh bằng 8cm. Xác định bán kính và tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC?

Bài 9: Cho tam giác đều ABC đều với cạnh bằng 8cm. Xác định bán kính và tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Bài 10: Viết phương trình đường tròn nội tiếp của tam giác ABC khi đã cho sẵn toạ độ của 3 đỉnh A(-1;3); B(5;1); C(-1;3).