Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau (Lý thuyết, công thức) bài tập và cách giải

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

I. Lý thuyết Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Kí hiệu: d (a,b) = MN trong đó M$\in$a, N$\in$b và MN$\perp$a, MN$\perp$b

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó mà chứa đường thẳng còn lại.

+Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Kí hiệu: d(a,b) = d(a,(Q)) = d(b,(P)) = d ((P),(Q)) trong đó (P), (Q) là hai mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng a, b và (P)//(Q)

II. Phương pháp xác định, tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:

Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó

$d\left(a,b\right)=MN$. Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :

Phương pháp 1: Chọn mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa đường thẳng $\Delta$ và song song với $\Delta \text{'}$.

Khi đó $d(\Delta ,\Delta \text{'})=d(\Delta \text{'},(\alpha \left)\right)$

Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.

Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.

Trường hợp 1: $\Delta$ và $\Delta \text{'}$ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau

Bước 1: Chọn mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa $\Delta \text{'}$ và vuông góc với $\Delta$ tại $I$.

Bước 2: Trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ kẻ $IJ\perp \Delta \text{'}$.

Khi đó $IJ$ là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta \text{'})=IJ$.

Trường hợp 2: $\Delta$ và $\Delta \text{'}$ chéo nhau mà không vuông góc với nhau

Bước 1: Chọn mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa $\Delta \text{'}$ và song song với $\Delta$.

Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của $\Delta$ xuống $\left(\alpha \right)$ bằng cách lấy điểm $M\in \Delta$ dựng đoạn $MN\perp \left(\alpha \right)$, lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với $\Delta$.

Bước 3: Gọi $H=d\cap \Delta \text{'}$, dựng $HK\parallel MN$

Khi đó $HK$ là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta \text{'})=HK=MN$.

Hoặc

Bước 1: Chọn mặt phẳng $\left(\alpha \right)\perp \Delta$ tại I.

Bước 2: Tìm hình chiếu d của $\Delta \text{'}$ xuống mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

Bước 3: Trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, dựng $IJ\perp d$, từ J dựng đường thẳng song song với $\Delta$ cắt $\Delta \text{'}$ tại H, từ H dựng $HM\parallel IJ$.

Khi đó $HM$ là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta \text{'})=HM=IJ$.

Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vec tơ

a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{CN}=y\overrightarrow{CD}\\ \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{CD}=0\end{array}\right.$

b) Nếu trong $\left(\alpha \right)$ có hai vec tơ không cùng phương $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ thì $OH=d\left(O,\left(\alpha \right)\right)\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{u_1}\\ \overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{u_2}\\ H\in \left(\alpha \right)\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{u_2}=0\\ H\in \left(\alpha \right)\end{array}\right.$.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5; BC = a√2. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SD và BC

Lời giải

Ta tìm đoạn vuông góc chung của SD và BC:

Lại có; DC ⊥ BC nên DC là đoạn vuông góc chung của SD và BC

⇒ d(SD; BC) = DC.

Áp dụng định lí Pyta go vào tam giác vuông ABC có

Chọn đáp án D

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a và AC = 2a. Tính khoảng cách giữa AC’ và CD’

Lời giải

Ta có hình chiếu của AC’ trên mặt phẳng (DCC’D’) là DC' ⊥ D’C nên AC’ ⊥ D'C

⇒ D’C ⊥ (ADC’B’) tại điểm H là trung điểm CD’.

Từ H ta kẻ HK ⊥ AC’

⇒ d(AC’; D’C) = HK (khi đó HK là đoạn vuông góc chung của AC’ và D’C)

Ta tính khoảng cách d từ điểm D đến đường thẳng AC’

+ Áp dụng định li Pytago với tam giác vuông ABC ta có

+ Áp dụng định lí pytago với tam giác vuông DCC’ ta có:

+ Xét tam giác ADC’ có:

Chọn đáp án D

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và ∠BAD = 60° và SO = 3a/4. Biết SA = SC và SB = SD. Hỏi khoảng cách giữa SA và BD bằng bao nhiêu ?

Lời giải

+ Vì SA = SC nên tam giác SAC cân tại S ⇒ SO ⊥ AC

Vì SB = SD nên tam giác SBD cân tại S ⇒ SO ⊥ BD.

+ Ta có:

Trong mp(SAC) , kẻ OH ⊥ SA (H ∈ SA). Ta chứng minh OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD

Ta có: OH ⊥ SA (cách dựng) và OH ⊥BD ( vì BD⊥( SAC)

⇒ OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD. Do đó: d(SA; DB) = OH.

Ta có: Tam giác ABD cân tại A có góc A bằng 60° nên tam giác ABD đều cạnh a.

+ Tam giác SOA vuông tại O, có OH là đường cao, ta có:

Chọn B

Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.

Lời giải

Chọn C

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

+ Xét tam giác ACD đều có NA là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên NA = (a√3)/2.

Tương tự: NB = (a√3)/2.

⇒ NA = NB nên tam giác ANB cân tại N

suy ra đường trung tuyến NM đồng thời là đường cao: NM ⊥ AB

+ Chứng minh tương tự ta có NM ⊥ DC, nên d(AB; CD) = MN.

Bài 5: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu?

Lời giải

Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh CD và AB.

Ta chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

+ Do ABCD là tứ diện đều nên ΔACD = ΔBCD

⇒ AM = BM

⇒ Tam giác MAB cân tại M có MN là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

⇒ MN ⊥ AB

+ Chứng minh tương tự ta có: MN ⊥ CD

⇒ MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

⇒ d( AB; CD) = MN

+ Ta có: NB = AB/2 = a/2.

Tam giác BCD đều cạnh a nên BM = BC.sin60° = (a√3)/2

Chọn đáp án B

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông tại B có AB = a, $BC=a\sqrt{3}$ . Biết $SA=\frac{a}{\sqrt{2}}$

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.

Lời giải

a) Dựng $Bx//AC,AE\perp Bx\Rightarrow \left(SAE\right)\perp Bx$

Dựng $AF\perp SE\Rightarrow d(AC;SB)=AF$

Dựng $BH\perp AC$ dễ thấy $AE=BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $AF=\frac{AE.SA}{\sqrt{S{A}^2+A{E}^2}}=\frac{a\sqrt{30}}{10}$

b) Dựng $Cy//AB\Rightarrow d(AB,SC)=d(AB,(SCy\left)\right)$

Dựng $Cy//AB\Rightarrow d(AB,SC)=d(AB,(SCy\left)\right)$

Lại có : $AM=BC=a\sqrt{3}\Rightarrow AN=\frac{AM.SA}{\sqrt{S{A}^2+A{M}^2}}=\frac{a\sqrt{21}}{27}$