Dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Cách chứng minh tứ giác là hình bình hành và bài tập vận dụng

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Cách chứng minh tứ giác là hình bình hành và bài tập vận dụng

I. Lý thuyết về hình bình hành

1. Hình bình hành là gì?

Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ AB // CD và AD // BC

Từ định nghĩa bình hành và hình thang, ta suy ra: Hình bình hành là một hình thang đặc biệt (hình bình hành là hình thang có các cạnh bên song song).

2. Tính chất hình bình hành

Trong hình bình hành:

• Các cạnh đối bằng nhau
• Các góc đối bằng nhau
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Ví dụ:

Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì:

a. AB = DC; AD = BC

b. góc BAD = góc BCD; góc ABC = góc ADC

c. AI = IC; IB = ID

3. Công thức tính chu vi hình bình hành

Chu vi của một hình bình hành bằng hai lần tổng một cặp cạnh kề nhau bất kỳ.

Nói cách khác, chu vi hình bình hành là tổ độ dài của bốn cạnh hình bình hành.

Muốn tính chu vi hình bình hành, ta áp dụng công thức sau:

C = (a + b) x 2

Trong đó:

• C: chu vi hình bình hành
• a, b: hai cạnh bất kỳ của hình bình hành

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có hai cạnh a và b lần lươt là 5 cm và 7 cm. Hỏi chu vi của hình bình hành ABCD bằng bao nhiêu?

Lời giải

Chu vi hình bình hành ABCD là:

C = (a + b) x 2 = (5+7) x 2 = 24 cm

4. Công thức tính diện tích hình bình hành

Diện tích hình bình hành là toàn phần mặt phẳng ta có thể thấy được của hình bình hành.

Diện tích hình bình hành được đo bằng độ lớn của bề mặt hình, là phần mặt phẳng ta có thể nhìn thấy của hình bình hành.

Diện tích hình bình hành bằng tích của cạnh đáy nhân với chiều cao.

Công thức: S = a. h

Trong đó:

• S: Diện tích hình bình hành
• a: cạnh đáy của hình bình hành
• h: chiều cao (nối từ đỉnh tới đáy của một hình bình hành)

Ví dụ: Hình bình hành ABCD có chiều cao cạnh đáy CD = 8 cm và chiều cao nối từ đỉnh A xuống cạnh đáy CD là 5 cm. Tính diện tích hình bình hành ABCD?

Lời giải

Diện tích hình bình hành là:

S = a.h = 8 . 5 = 40 cm2

II. Dấu hiệu nhận biết và cách chứng minh tứ giác là hình bình hành

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành bao gồm:

1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành

2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành

5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành

Để chứng mình tứ giác là hình bình hành, ta chỉ cần chứng minh tứ giác có 1 trong 5 dấu hiệu nhận biết về cạnh đối và đường chéo ở trên.

III. Bài tập vận dụng

Dạng 1: Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành.

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD

a. Chứng minh: AF // CE

b. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD với AF, CE. Chứng minh: DM = MN = NB

Lời giải

a. Vì ABCD là hình bình hành:

⇒ AB = CD (tính chất)

mà E thuộc AB và F thuộc DC ⇒ AE // FC

Vì E, F là trung điểm của AB và CD

⇒ AE = EB = DF = FC

Xét tứ giác AECF có:

AE = FC và AE // FC

⇒ AECF là hình bình hành (DHNB) ⇒ AF // EC (tính chất)

b. Gọi AC giao BD tại O

Xét tam giác ADC có:

DO, AF là trung tuyến (AO = OC, DF = FC)

AF giao DO tại M

⇒ M là trọng tâm của tam giác ADC

⇒ DM =$\frac{2}{3}$ DO = $\frac{2}{3}$ BO (1)

và OM = $\frac{1}{3}$ DO = $\frac{1}{3}$ BO (2) (do DO = BO)

Xét tam giác ABC có:

BO, CE là trung tuyến

BO giao CE tại N

⇒ N là trọng tâm của tam giác ABC

⇒ BN = $\frac{2}{3}$ BO (3)

và ON =$\frac{1}{3}$ BO (4)

Từ (2), (4) ⇒ MN = OM + ON = $\frac{1}{3}$ BO + $\frac{1}{3}$ BO = $\frac{2}{3}$ BO (5)

Từ (1), (3) và (5) ⇒ DM = BN = MN

Bài 2. Hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, E và F theo thứ tự là trung điểm của OD và OB.

a. Chứng minh: AE // CF

b. Gọi AE giao CD tại K. Chứng minh: DK = $\frac{1}{2}$ KC

Lời giải

a. AC giao BD tại O ⇒ OD = BO

Vì E, F là trung điểm của DO và BO ⇒ DE = EO = OF = FB

Xét tứ giác AFCE có:

AC giao EF tại O

OA = OC

OE = OF

⇒ AFCE là hình bình hành (DHNB)

⇒ AE // CF (tính chất)

b. Từ O kẻ OM // EK

Xét tam giác DOM có:

OM // EK

và E là trung điểm của DO

⇒ K là tung điểm của DM ⇒ DK = KM (1)

Xét tam giác CDK có:

OM // AK

và O là trung điểm của AC

⇒ M là trung điểm của KC ⇒ CM = KM (2)

Từ (1) và (2) ⇒ DK = KM = CM

mà KM + CM = KC

⇒ DK = $\frac{1}{2}$ KC

Dạng 2: Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành

Bài 3. Tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BD, AB, AC, CD.

a. Chứng minh: EFGH là hình bình hành

b. Cho AD = a, BC = b. Tính chu vi hình hình hành EFGH

Lời giải

a. Xét tam giác ABD có:

F và E lần lượt là trung điểm của AB, BD ⇒ EF là đường trung bình của tam giác ABD

⇒ EF // AD (1)

và EF = $\frac{1}{2}$ AD (2)

Tương tự, ta có GH là đường trung bình của tam giác ACD

⇒ GH // AD (3)

và GH = $\frac{1}{2}$ AD (4)

Từ (1) và (3) ⇒ EF // GH

(2) và (4) ⇒ EF = GH

⇒ tứ giác GHEF là hình bình hành

b. Ta có: GH = EF = $\frac{1}{2}$ AD = $\frac{1}{2}$ a

FG = HE = $\frac{1}{2}$ BC = $\frac{1}{2}$ b

Chu vi hình binh hành GFEH là:

C = ($\frac{1}{2}$ a + $\frac{1}{2}$ b) .2 = a + b

Bài 4. Cho tam giác ABH, trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau tại D. Chứng minh:

a. BDCH là hình bình hành

b. góc BAC + góc BDC = 180°

c. H, M, D thẳng hàng (M là trung điểm BC)

Lời giải

a. Ta có: CH vuông góc AB

và BD vuông góc AB

⇒ CH // DB (1)

Lại có: BH vuông góc AC

và CD vuông góc AC

⇒ BH // CD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BHCD là hình bình hành (DHNB)

b. Tứ giác ABCD có:

góc BAC + góc ABD + góc BDC + góc ACD = 360°

⇒ góc BAC + 90° + góc BDC + 90° = 360°

⇒ góc BAC + góc BDC = 180°

c. Vì BHCD là hình bình hành nên BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

Ta có: M là tung điểm của BC

⇒ M là trung điểm của HD

⇒ H, M, D thẳng hàng

Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, các đường đồng quy

Phương pháp giải: Vận dụng các tính chất về đường chéo cả hình bình hành

Bài 5. Hình bình hành ABCD. Lấy N thuộc AB, M thuộc CD sao cho AN = CM. Chứng minh:

a. AM // CN

b. DN = BM

c. AC, BD, MN đồng quy

Lời giải

a. Xét tứ giác ABCD có:

AN = CM

AN // CM (do AB//CD)

⇒ ANCM là hình bình hành

⇒ AM // CN

b. Ta có: BN = AB - AN

DM = DC - CM

mà AB = DC, AN = CM

⇒ BN = DM

mà BN // DM (do AB // CD)

⇒ BNDM là hình bình hành (DHNB)

⇒ DN = BM (tính chất)

c. Gọi AC giao BD tại O (1)

⇒ O là trung điểm của AC và BD

Ta có: ANCM là hình bình hành và O là trung điểm cua đường chéo Ac

⇒ O là trung điểm của MN

⇒ O thuộc MN (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AC, BD, MN đồng quy

Bài 6. Một mảnh đất hình bình hành có cạnh đáy là 47m, mở rộng mảnh dất bằng cách tăng cạnh đáy của hình bình hanh thêm 7m, thì được mảnh đất hình bình hành mới có diện tích hơn diện tích mảnh đất ban đầu là 189 m2. Tính diện tích mảnh đất ban đầu?

Lời giải

Phần diện tích tăng thêm chính là diện tích hình bình hành có cạnh đáy 7m và chiều cao là chiều cao của mảnh đất hình bình hành ban đầu.

Chiều cao mảnh đất là: 189 ; 7 = 27m

Diện tích mảnh đất hình bình hành ban đầu là: S = 27 . 47 = 1269 m2

Bài 7. Điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống: "tứ giác có hai đường chéo...thì tứ giác đó là hình bình hành"

A. bằng nhau

B. Cắt nhau

C. cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

D. song song

Bài 8. Hãy chọn câu đúng: Cho hình bình hành ABCD, E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Khi đó:

A. DE = BF

B. DE . BF

C. DE , BF

D. DE = EB

Bài 9. Hình bình hành ABCD có góc A = 3 lần góc B. Số đo các góc của hình bình hành là:

A. góc A = góc C = 100°; góc B= góc D = 50°

B. góc A = góc D = 120°, góc B = góc C = 60°

C. góc A = góc C = 60°, góc B = góc D = 120°

D. góc A = góc C = 135°, góc B = góc D = 45°