Đường trung tuyến là gì? Định lí ba đường trung tuyến, công thức tính độ dài đường trung tuyến

Đường trung tuyến là gì? Định lí ba đường trung tuyến, công thức tính độ dài đường trung tuyến

1. Đường trung tuyến là gì?

- Đường trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến

- Các đường trung tuyến của tam giác giao nhau tại trọng tâm của tam giác.

- Trong tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC thì đường trung tuyến AM cũng là đường cao, đường phân giác và đường trung trực.

2. Định lí 3 đường trung tuyến

Định lí 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác đó.

Định lí 2: Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Va đường trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.

Định lí 3: Về vị trí trọng tâm: trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

3. Tính chất của đường trung tuyến

- Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.

Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

- Tam giác vuông là một tam giác đặc biệt với một góc lớn 90 °C, hai cạnh tạo nên góc vuông này luôn vuông góc với nhau, do vậy mà đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ mang những tính chất của đường trung tuyến tam giác.

Trong một tam giác bất kì, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác sẽ có độ dài bằng 1/2 cạnh huyền.

- Mỗi trung tuyến chia diện tích tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung truyến chia tam giác thành sau tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.

- Đường trung tuyến trong tam giác cân

Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đáy. Và chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.

- Đường trung tuyến trong tam giác đều

Ba đường trung truyến của tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành sáu tam giác có diện tích bằng nhau.

Trong tam giác đều đường thẳng đi qua một đỉnh bất kì và đi qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác đó thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

4. Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Gọi $m_a,m_b,m_c$ là độ dài đường trung tuyến lần lượt vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC, ta có:

(với G là trọng tâm của tam giác ABC).

5. Bài tập về đường trung tuyến

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 4cm và BC = 4cm. Các điểm M, N, P lần lượt là là trung điểm của BC, AB, AC. Tính độ dài AM, BP và CN.

Lời giải:

Các điểm M, N, P lần lượt là là trung điểm của BC, AB, AC.

$\Rightarrow$ AM, BP, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Xét tam giác ABC ta có:

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Có BC = 10cm. Điểm M là trung điểm của BC. Tính độ dài AM.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

M là trung điểm của BC$\Rightarrow$ AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.

$\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.10=5$ (cm)

Bài 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, N là trung điểm của AB. Tính độ dài CN biết CG = 4cm.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có trọng tâm G ta có:

N là trung điểm BC $\Rightarrow$ CN là đường trung tuyến, điểm G nằm trên CN

Ta có:$CG=\frac{2}{3}CN$

$\Rightarrow CN=\frac{3}{2}CG=\frac{3}{2}.4=6$ (cm)

Bài 4. Tam giác ABC có AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.

Hướng dẫn giải:

Ta có tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến suy ra AM là đường cao, đường phân giác của tam giác ABC nên BM = MC = $\frac{1}{2}$BC = 6 cm

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông AMC có:

AC² = AM² + MC² $\Rightarrow AM=\sqrt{A{C}^2-M{C}^2}$ = 8 cm

Bài 5. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC có góc $\widehat{BAC}=120°$, AB = 4 cm, AC = 6 cm

Hướng dẫn giải:

Ta có BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cos120^o

$\Rightarrow BC=2\sqrt{9}$

$\Rightarrow A{M}^2=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{2}-\frac{B{C}^2}{4}$

$\Rightarrow AM=\sqrt{7}$

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. Tính độ dài cạnh AB.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến nên AM = BM = MC = 6

Suy ra BC = 12

Mặt khác:

Bài 7. Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17 cm, BC= 16 cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Hướng dẫn giải:

a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC

Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A

Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM vuông góc với BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng định lý Pythagore ta có: AC² = AM² + MC² hay 17² = AM² + 8².

Suy ra AM² = 17² – 8² = 225.

Do đó AM = 15 cm.