Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp phương trình chính tắc của elip

Phương trình chính tắc của elip

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_1{F}_2$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1}M+F_{2}M=2a$.

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi $F_{1}M+F_{2}M=2a$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) $\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (1) với $b^2=a^2-c^2$

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

II. Các công thức.

Từ các thông tin đề bài cho, ta tìm a, b dựa vào các công thức:

+ Hai tiêu điểm: $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0)

+ Bốn đỉnh: $A_1$(-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$(0; b)

+ Độ dài trục lớn: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a$

+ Độ dài trục nhỏ: $B_1{B}_2=2b$

+ Tiêu cự: $F_1{F}_2=2c$

+ Tâm sai của (E): $e=\frac{c}{a}<1$

+ $b^2=a^2-c^2$

Từ đó tìm ra a và b để viết phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 12, độ dài trục nhỏ là 6.

Lời giải:

Gọi các đỉnh của elip là: $A_1$(-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$(0; b)

Ta có độ dài trục lớn: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a=12\Rightarrow a=6$

Ta có độ dài trục nhỏ: $B_1{B}_2=2b=6\Rightarrow b=3$

Ta có phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{6^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\iff \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$.

Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự là 12 và tâm sai là 0,5 . Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Lời giải:

Bài 3: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 18, độ dài trục nhỏ là 10.

Lời giải:

Gọi các đỉnh của elip là: $A_1$(-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$(0; b)

Ta có độ dài trục lớn: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a=18\Rightarrow a=9$

Ta có độ dài trục nhỏ: $B_1{B}_2=2b=10\Rightarrow b=5$

Ta có phương trình chính tắc của elip:

$\frac{x^2}{9^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\iff \frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{25}=1$

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 20, độ dài trục nhỏ là 14.

Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự là 18 và tâm sai là 0,5. Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 khác:

Công thức xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Công thức xác định tâm và bán kính của đường tròn hay, chi tiết nhất