Công thức cộng xác suất? Bài tập tự luyện Công thức cộng xác suất

Công thức cộng xác suất? Bài tập tự luyện Công thức cộng xác suất

1. Công thức cộng xác suất là gì?

- Công thức cộng xác suất được dùng để tính xác suất của ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra, với công thức chung là P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

- Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Lưu ý: Nếu A ∩ B = ∅ thì A và B gọi là hai biến cố xung khắc.

2. Giải thích kí hiệu

• P(A): Xác suất xảy ra biến cố A.

• P(B): Xác suất xảy ra biến cố B.

• P(A ∪ B) (A hợp B): Xác suất xảy ra biến cố A hoặc biến cố B, hoặc cả hai.

• P(A ∩ B) (A giao B): Xác suất xảy ra đồng thời cả hai biến cố A và B.

3. Trường hợp đặc biệt

- Khi A và B xung khắc (không thể xảy ra đồng thời): Nếu hai biến cố này không có điểm chung nào (A ∩ B = ∅), thì P(A ∩ B) = 0.

- Khi đó, công thức cộng xác suất trở thành: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

4. Ví dụ minh họa Công thức cộng xác suất

Ví dụ 1. Một hộp đựng 5 quả bóng xanh, 4 quả bóng đỏ và 2 quả bóng vàng. Chọn ngẫu nhiên hai quả bóng. Tính xác suất để chọn được hai quả bóng cùng màu.

Hướng dẫn giải:

Gọi A là biến cố: “Chọn được hai quả bóng xanh”.

B là biến cố: “Chọn được hai quả bóng đỏ”.

C là biến cố: “Chọn được hai quả bóng vàng”.

Khi đó biến cố chọn được hai quả bóng cùng màu là X = A ∪ B ∪ C. Do A, B, C đôi một xung khắc nên theo quy tắc cộng xác suất ta có:

P(X) = P(A) + P(B) + P(C).

Ta có $\text{P(A)}=\frac{{\text{C}}_5^{\text{2}}}{{\text{C}}_{11}^{\text{2}}}=\frac{10}{55},\text{P(B)}=\frac{{\text{C}}_4^{\text{2}}}{{\text{C}}_{11}^{\text{2}}}=\frac{6}{55},\text{P(C)}=\frac{{\text{C}}_2^{\text{2}}}{{\text{C}}_{11}^{\text{2}}}=\frac{1}{55}$

Suy ra $\mathrm{P}\left(\mathrm{X}\right)=\frac{10}{55}+\frac{6}{55}+\frac{1}{55}=\frac{17}{55}$

Ví dụ 2. Một túi chứa 3 viên bi trắng, 7 viên bi đỏ, 15 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Tính xác suất lấy ra hai viên bi khác màu.

Hướng dẫn giải:

Gọi A là biến cố: “Chọn được hai viên bi màu trắng”.

B là biến cố: “Chọn được hai viên bi màu đỏ”.

C là biến cố: “Chọn được hai viên bi màu vàng”.

Khi đó biến cố chọn được hai viên bi cùng màu là X = A ∪ B ∪ C. Do A, B, C đôi một xung khắc nên theo quy tắc cộng xác suất ta có:

P(X) = P(A) + P(B) + P(C).

Ta có $\text{P(A)}=\frac{{\text{C}}_3^{\text{2}}}{{\text{C}}_{25}^{\text{2}}}=\frac{3}{300},\text{P(B)}=\frac{{\text{C}}_7^{\text{2}}}{{\text{C}}_{25}^{\text{2}}}=\frac{21}{300},\text{P(C)}=\frac{{\text{C}}_{15}^{\text{2}}}{{\text{C}}_{25}^{\text{2}}}=\frac{105}{300}$

Suy ra $\mathrm{P}\left(\mathrm{X}\right)=\frac{3}{300}+\frac{21}{300}+\frac{105}{300}=\frac{129}{300}=\frac{43}{100}$

Khi đó biến cố “Chọn được hai viên bi khác màu” là .

Suy ra $\text{P}\left(\overline{\text{X}}\right)=1-\text{P}\left(\text{X}\right)=1-\frac{43}{100}=\frac{57}{100}$

5. Bài tập vận dụng

Câu 1: Bộ bài lơ khơ có 52 lá bài. Rút ngẫu nhiên một lá bài.Tính xác suất để lá rút ra là lá át hoặc lá 8?

A.2/13 B.1/13 C.1/4 D.1/2

Lời giải:

Đáp án : A

+ Gọi A là biến cố lá rút ra là át.

Gọi B là biến cố lá rút ra là 8.

⇒ A∪B là biến cố lá rút ra là át hoặc 8.

+ Một bộ bài có 52 lá; trong đó có 4 lá át; 4 lá 8.

Xác suất của hai biến cố A và B là:

P(A) = 4/52 = 1/13;P(B) = 4/52 = 1/13

+ Vì hai biến cố A và B xung khắc với nhau nên ta có:

P(A∪B)=P(A)+P(B) = 1/13 + 1/13 = 2/13

Câu 2: Một con súc sắc không đồng chất sao cho mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác, các mặt còn lại đồng khả năng. Tìm xác suất để xuất hiện một mặt chẵn

A.5/8 B.3/8 C.7/8 D.1/8

Lời giải:

Đáp án : A

Gọi A_i là biến cố xuất hiện mặt i chấm ( i=1;2;3;4;5;6)

Ta có: P(A₁)=P(A₂)= P(A₃)= P(A₅)= P(A₆)= 1/3 P(A₄)= x

Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, suy ra A= A₂∪A₄∪A₆

Vì cá biến cố A_i xung khắc nên:

P(A)= P(A₂)+ P(A₄)+ P(A₆)= 1/8+ 3/8+ 1/8 = 5/8.

Câu 3: Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó có 1 đáp án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm dưới 1.

A.0,7124 B.0,7759 C.0,7336 D.0,783

Lời giải:

Đáp án : B

Ta có xác suất để học sinh trả lời câu đúng là 1/4 và xác suất trả lời câu sai là 3/4.

Gọi x là số câu trả lời đúng, khi đó số câu trả lời sai là 10- x

Số điểm học sinh này đạt được là : 4x – 2( 10- x) = 6x- 20

Nên học sinh này nhận điểm dưới 1 khi 6x- 20 <1 ⇔ x<21/6

Mà x nguyên nên x nhận các giá trị: 0,1,2,3

Gọi Ai ( i= 0,1,2,3) là biến cố: “Học sinh trả lời đúng i câu”

A là biến cố: “ Học sinh nhận điểm dưới 1”

Suy ra

Câu 4: Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên biên. Xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu là

A.5/18 B.1/6 C.5/12 D.1/36

Lời giải:

Đáp án : A

Gọi A là biến cố : “Chọn được hai viên bi xanh”.

Gọi B là biến cố : “Chọn được hai viên bi đỏ”.

Gọi C là biến cố : “Chọn được hai viên bi vàng”.

Khi đó biến cố: “Chọn được hai viên bi cùng màu” là biến cố A∪B∪C. Do A; B; C đôi một xung khắc với nhau nên theo quy tắc cộng ta có

Câu 5: Trong một hộp đựng 7 bi xanh, 5 bi đỏ và 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi, tính xác suất để được ít nhất 2 bi vàng được lấy ra.

A.37/455 B.22/455 C.10/91 D.144/455

Lời giải:

Đáp án : A

+ Số phần tử của không gian mẫu là:

+ Gọi A là biến cố lấy được 2 bi vàng; 1 bi đỏ

Gọi B là biến cố lấy được 2 bi vàng; 1 bi xanh.

Gọi C là biến cố lấy được 3 bi vàng

⇒ A∪B∪C trong 3 bi lấy ra có ít nhất 2 bi vàng.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A; B và C lần lượt là:

Do ba biến cố A; B và C đôi một xung khắc nên theoquy tắc cộng xác suất ta có:

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) = 15/455 + 21/455 + 1/455 = 37/455

Câu 6: Trong bộ môn Toán, thầy giáo có 40 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 15 câu trung bình, 20 câu hỏi dễ. Một ngân hàng đề thi mỗi đề thi có 7 câu hỏi được chọn từ 40 câu hỏi đó. Tính xác suất để chọn được đề thi từ ngân hàng đề nói trên nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 4.

A.183/3848 B.2745/3848 C.915/3848 D.1830/3848

Lời giải:

Đáp án : C

+ Gọi X là biến cố đề thi có 7 câu hỏi được chọn đủ 3 loại và số câu dễ không ít hơn 4.

+ Số phần tử của không gian mẫu:

Do đủ 3 loại mà số câu dễ không ít hơn 4 nên số câu dễ chỉ có thể là 4 hoặc 5.

+ Gọi A là biến cố đề thi có 5 câu dễ; 1 câu trung bình; 1 câu khó.

Gọi B là biến cố đề thi có 4 câu dễ; 2 câu trung bình và 1 câu khó.

Gọi C là biến cố đề thi có 4 câu dễ; 1 câu trung bình và 2 câu khó.

⇒ X= A∪B∪C và các biến cố A; B; C đôi một xung khắc.

+ Ta tính số kết quả thuận lợi cho các biến cố:

Câu 7: Đội dự tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay môn toán của một trường phổ thông có 4 học sinh nam khối 12, 2 học sinh nữ khối 12 và 2 học sinh nam khối 11. Để thành lập đội tuyển dự thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay môn toán cấp tỉnh nhà trường cần chọn 5 em từ 8 em học sinh trên. Tính xác suất để trong 5 em được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ, có cả học sinh khối 11 và học sinh12.

A.2/5 B.5/14 C.11/14 D.2/7

Lời giải:

Đáp án : C

Gọi X là biến cố trong 5 em được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ, có cả học sinh khối 11 và 12.

+ Số phần tử không gian mẫu:

+ Gọi A là biến cố chọn được 2 nam 11; 1 nữ 12 và 2 nam 12.

+ Gọi B là biến cố chọn được 2 nam 11; 2 nữ 12 và 1 nam 12.

+ Gọi C là biến cố chọn được 1 nam 11; 1 nữ 12; 3 nam 12.

+ Gọi D là biến cố chọn được 1 nam 11; 2 nữ 12; 2 nam 12.

⇒ X= A∪B∪C∪D và các biến cố A; B; C, D đôi một xung khắc.

+ Ta tính số kết quả thuận lợi cho các biến cố là

Câu 8: Trường trung học phổ thông T có tổ Toán gồm 15 giáo viên trong đó có 8 giáo viên nam, 7 giáo viên nữ. Tổ Lý gồm 12 giáo viên trong đó có 5 giáo viên nam, 7 giáo viên nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ 2 giáo viên đi dự tập huấn chuyên đề dạy học tích hợp. Tính xác suất sao cho trong các giáo viên được chọn có 2 nam và 2 nữ.

A.291/495 B.197/495 C.394/495 D.253/495

Lời giải:

Đáp án : B

+ Gọi X là biến cố trong các giáo viên được chọn có 2 nam và 2 nữ.

Số phần tử của không gian mẫu:

+ Gọi A là biến cố chọn được 2 nam toán; 2 nữ lý.

B là biến cố chọn được 2 nữ toán và 2 nam lý.

C là biến cố 1 nam toán; 1 nam lý; 1 nữ toán; 1 nữ lý

=> X=A∪B∪C và các biến cố A; B; C đôi một xung khắc.

+ Ta tính số kết quả thuận lợi cho các biến cố:

Câu 9: Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh của trường THPT Hùng Vương có 10 học sinh đạt giải trong đó có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Nhà trường muốn chọn một nhóm 5 học sinh trong 10 học sinh trên để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng cuối học kỳ 1 do huyện tổ chức. Tính xác suất để chọn được một nhóm gồm 5 học sinh mà có cả nam và nữ, biết số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ

A.5/7 B.2/3 C.4/3 D.1/4

Lời giải:

Đáp án : A

+ Số phần tử của không gian mẫu là:

+ Gọi A là biến cố chọn được 4 nữ và 1 nam.

Gọi B là biến cố chọn được 3 nữ và 2 nam.

=> A∪B là biến cố có cả nam và nữ ; số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ.

+ Ta tính số kết quả thuận lợi cho hai biến cố A và B :

=> Xác suất của hai biến cố A và B là:

P(A)= 60/252;P(B)=120/252

Hai biến cố A và B xung khắc với nhau; áp dụng quy tắc cộng xác suất ta có:

P(A∪B) = P(A)+P(B) = 60/252 + 120/252 = 5/7

6. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một hộp đựng 6 viên bi màu trắng và 8 viên bi màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp). Tiếp đó đến lượt bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu trắng.

Bài 2. Ba xạ thủ cùng bắn súng vào một bia độc lập nhau. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là 0,7; 0,8 và 0,9. Tính xác suất để:

(a) Có duy nhất một xạ thủ bắn trúng bia;

(b) Có đúng hai xạ thủ bắn trúng bia;

(c) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia;

(d) Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia biết rằng có hai xạ thủ bắn trúng bia.

Bài 3. Một lớp có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi ngoại ngữ, 30 sinh viên giỏi toán, 20 sinh viên vừa giỏi ngoại ngữ, vừa giỏi toán. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tìm xác suất để sinh viên đó giỏi ít nhất một trong hai môn trên.

Bài 4. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 20 sinh viên học giỏi Toán; 30 sinh viên học giỏi Anh văn; 10 sinh viên học giỏi cả hai môn Toán và Anh văn. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tun xác suất để chọn được sinh viên học giỏi ít nhất một môn trong hai môn Toán và Anh văn.

Bài 5. Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 2 phế phẩm). Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 6 sản phẩm. Tìm xác suất để có không quá 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra.

Bài 6. Người ta thăm dò một số lượng người hâm mộ bóng đá tại một thành phố, nơi có hai đội bóng đá X và Y cùng thi đấu giải vô địch quốc gia. Biết rằng số lượng người hâm mộ đội bóng đá X là 22%, số lượng người hâm mộ đội bóng đá Y là 39%, trong số đó có 7% người nói rằng họ hâm mộ cả hai đội bóng trên. Chọn ngẫu nhiên một người hâm mộ trong số những người được hỏi, tính xác suất để chọn được người không hâm mộ đội nào trong hai đội bóng đá X và Y.

Đáp án:

Gọi A là biến cố: “Chọn được một người hâm mộ đội bóng đá X”, gọi B là biến cố: "Chọn được một người hâm mộ đội bóng đá Y ".

Khi đó $P\left(A\right)=\frac{22}{100}=0,22;$ $P\left(B\right)=\frac{39}{100}=0,39;$ $P\left(AB\right)=\frac{7}{100}=0,07.$

Suy ra: P (A $\cup$ B) = P (A) + P (B) - P (AB) = 0,22 + 0,39 - 0,07 = 0,54.

Xác suất để chọn được người không hâm mộ đội nào trong hai đội bóng đá X và Y là: $P\left(\overline{A\cup B}\right)=1-P(A\cup B)$ = 1 - 0,54 = 0,46.

Trả lời: 0,46.

Bài 7. Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 tới 9 , hai tấm thẻ khác nhau đánh hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên đồng thời hai tấm thẻ từ hộp. Xét các biến cố sau:

A: "Cả hai tấm thẻ đều đánh số chẵn", B: "Chỉ có một tấm thẻ đánh số chẵn", C: "Tích hai số đánh trên hai tấm thẻ là một số chẵn". Tính xác suất để biến cố C xảy ra (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Dễ thấy A, B là hai biến cố xung khắc và $P\left(A\right)=\frac{C_4^2}{C_9^2}=\frac{1}{6},$ $P\left(B\right)=\frac{C_4^1{C}_5^1}{C_9^2}=\frac{5}{9}$.

Ta có: $P\left(C\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$$=\frac{1}{6}+\frac{5}{9}=\frac{13}{18}\approx 0,72$.

Trả lời: 0,72.