Công thức bất đẳng thức Minkowski (Mincôpski)

Với tài liệu công thức bất đẳng thức Minkowski (Mincôpski) bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

1 545 10/01/2026

Trang trước

Trang sau

Công thức bất đẳng thức Minkowski (Mincôpski)

1. Bất đẳng thức Minkowski (Mincôpski)

Cho hai dãy số thực $(a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})$ và $(b_{1}, b_{2}, . . ., b_{n})$ thì ta luôn có:

$\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} + \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}} + . . . + \sqrt{{a_{n}}^{2} + {b_{n}}^{2}}$ $\geq$ $\sqrt{{(a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n})}^{2} + {(b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n})}^{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi:

$\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = . . . = \frac{a_{n}}{b_{n}}$

Quy ước: Nếu $b_{1} = 0$ thì $a_{1} = 0$ , tương tự áp dụng với $b_{2}, b_{3}, b_{n}$ .

2. Dạng cụ thể

Dạng 1:

Cho $a, b, c, d \in ℝ$ , ta có: $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{{(a + c)}^{2} + {(b + d)}^{2}}$ . Đẳng thức xảy ra khi $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Chứng minh:

Biến đổi tương đương, ta có:

Đẳng thức xảy ra khi:

Dạng 2:

Cho $a, b, c, d, e, f \in ℝ$ , ta có: $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\geq \sqrt{{(a + c + e)}^{2} + {(b + d + f)}^{2}}$ .