Phương pháp giải một số bài toán hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu và cực trị của hàm số?

Phương pháp giải một số bài toán hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu và cực trị của hàm số?

1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số?

a. Tính đơn điệu của hàm số

•Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giả sử K là khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K.

- Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) > f(x₂).

Chú ý:

- Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (H.1.3a).

- Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (H.1.3b).

- Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

- Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó.

• Các bước xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y = f(x).

Bước 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x_i (i = 1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

b. Cực trị của hàm số

• Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là −∞, b có thể là +∞) và điểm x₀ ∈ (a; b).

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) $\subset$ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

- Nếu tồn tại h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) $\subset$(a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

Chú ý:

- Nếu hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x). Khi đó, f(x₀) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x) và kí hiệu f_CĐ hay y_CĐ. Điểm M₀(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

- Nếu hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x). Khi đó, f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x) và kí hiệu là f_CT hay y_CT. Điểm M₀(x₀; f(x₀)) được gọi điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

- Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

• Các bước tìm điểm cực trị của hàm số f(x)

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f(x):

Bước 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4.Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

2. Phương pháp giải bài toán hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu và cực trị của hàm số?

• Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng K.

• h(x) = f(u(x)).

Ta có h'(x) = u'(x).f'(u(x)).

- Nếu h'(x) đổi dấu qua điểm x₀ thuộc tập xác định từ đó suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến, điểm cực trị của hàm số.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f'(x) như sau:

Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = f(5 – 2x).

Hướng dẫn giải:

Ta có y' = f'(5 – 2x) = −2f'(5 −2x).

Có y' = 0 ⇔ −2f'(5 – 2x) = 0

Ta có f'(5 – 2x) < 0

f'(5 – 2x) > 0

Bảng biến thiên của hàm số y = f(5 – 2x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f(5 – 2x) đồng biến trên khoảng (2; 3) và (4; +∞).

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x² – 1)(x – 4) với mọi x ∈ ℝ. Hàm số g(x) = f(3 – x) có bao nhiêu điểm cực đại.

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số f(x)

Ta có g'(x) = −f'(3 – x).

Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta có

g'(x) > 0 ⇔ f'(3 – x) < 0

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số g(x)

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g(x) có 1 điểm cực đại.

4. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ

Hàm số y = f(2 – x²) đồng biến trên khoảng (a; b) khi đó a + 2b có giá trị là

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Có y' = −2x.f'(2 – x²).

Có y' > 0

Do đó hàm số đồng biến trên (0; 1). Khi đó a = 0; b = 1 và a + 2b = 2.

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y = f'(x) như hình sau. Hàm số g(x) = f(3 – 2x) + 2024 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1; +∞);

B. $(\frac{1}{2};1)$;

C. (0;$\frac{1}{2}$) ;

D. $(-\infty ;\frac{1}{2})$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có g'(x) = −2f'(3 – 2x).

Có g'(x) > 0 ⇔ f'(3 – 2x) < 0 ⇔ 1 < 3 – 2x < 2 ⇔ $\frac{1}{2}$ < x < 1.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $(\frac{1}{2};1)$.

Bài 3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f(2) = f(−2) = 0 và đồ thị hàm số y = f'(x) có dạng như hình vẽ bên dưới.

Hàm số g(x) = (f(x))² nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−2; −1);

B. $(-1;\frac{3}{2})$;

C. (−1; 1);

D. (1; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị hàm số trên, ta có bảng biến thiên như sau:

$\Rightarrow$ f(x) < 0,∀x ≠ ±2.

Ta có g'(x) = 2f(x).f'(x).

g'(x) = 2f(x).f'(x) < 0 ⇔ f'(x) > 0

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Bài 4. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x²(x – 9)(x – 4)². Khi đó hàm số g(x) = f(x²) đồng biến trên khoảng nào?

A. (−2; 2);

B. (3; +∞);

C. (−∞; −3);

D. (−∞; −3) ∪ (0; 3).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có f'(x) = x²(x – 9)(x – 4)² ⇒ g'(x) = 2x.x⁴(x² – 9)(x² – 4)².

Có g'(x) = 0 ⇔ 2x⁵(x² – 9)(x² – 4)² = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±3 hoặc x = ±2.

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số y = f(x²) đồng biến trên khoảng (3; +∞).

Bài 5. Cho hàm số y = f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số y = f'(x).

Xét hàm số g(x) = f(x² – 2) . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −2);

B. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞);

C. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (−1; 0);

D. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: g'(x) = 2x.f'(x² - 2); g'(x) = 0

Ta có g'(x) > 0

Vậy hàm số g(x) đồng biến trên các khoảng (−2; 0) và (2; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2).

Bài 6. Cho hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x² – 2x) trên khoảng (0; +∞).

A. 3;

B. 2;

C. 4;

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có g'(x) = (2x – 2)f'(x² – 2x).

Có g'(x) = 0

Do g'(x) đổi dấu khi qua các nghiệm x = 1 và x = 1 + $\sqrt{3}$ nên g(x) = f(x² – 2x) có 2 điểm cực trị trên khoảng (0; +∞).

Bài 7. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x² – 1)(x – 4) với mọi x ∈ ℝ. Hàm số g(x) = f(3 – x) có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số f(x)

Ta có g(x) = f(3 – x) $\Rightarrow$ g'(x) = −f'(3 – x).

Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta có

g'(x) > 0 ⇔ f'(3 – x) < 0

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số g(x)

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g(x) có một điểm cực đại.

Bài 8. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ, bảng biến thiên của hàm số f'(x) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y = f(x² + 2x) là

A. 4;

B. 5;

C. 1;

D. 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có y' = (2x + 2)f'(x² + 2x) = 0

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình

Đồ thị hàm số y = x² + 2x có dạng

Từ đồ thị hàm số y = x² + 2x ta thấy phương trình (2) vô nghiệm; phương trình (3); phương trình (4) đều có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó y' = 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số y = f(x² + 2x) có 5 điểm cực trị.

Bài 9. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên ℝ và có đúng hai điểm cực trị x = −1; x = 1 có đồ thị như hình vẽ sau:

Hỏi hàm số y = f(x² – 2x + 1) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4;

B. 3;

C. 1;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Do hàm số y = f(x) có đúng hai điểm cực trị x = −1; x = 1 nên phương trình f'(x) = 0 có hai nghiệm bội lẻ phân biệt x = −1; x = 1.

Ta có y' = (2x – 2)f'(x² – 2x + 1) .

Ta có

Do đó ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số y = f(x² – 2x + 1) có 3 cực trị.

Bài 10. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới:

Số điểm cực trị của hàm số y = f(x² – 4x + 1) là:

A. 3;

B. 2;

C. 1;

D. 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có y = f(x² – 4x + 1)

$\Rightarrow$ g'(x) = 2(x – 2)f'(x² – 4x + 1).

Ta có g'(x) = 2(x – 2)f'(x² – 4x + 1) = 0

Ta có bảng xét dấu của g'(x).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) = f(x² – 4x + 1 ) có 5 điểm cực trị.