Đường cao trong tam giác vuông? Các hệ thức về đường cao trong tam giác vuông

Đường cao trong tam giác vuông? Các hệ thức về đường cao trong tam giác vuông

1. Đường cao trong tam giác vuông là gì?

Trong tam giác vuông, đường cao có hai loại: đường cao hạ từ góc vuông xuống cạnh huyền và hai đường cao là hai cạnh góc vuông.

Cụ thể:

- Hai cạnh góc vuông đóng vai trò là đường cao ứng với cạnh góc vuông còn lại (cạnh AB, AC trong hình trên).

- Đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền sẽ tạo ra hai tam giác vuông nhỏ hơn (đường cao AH), và có các hệ thức quan trọng liên quan đến đường cao này và các cạnh của tam giác.

2. Các công thức liên quan đến cạnh

- Công thức tính đường cao: $h=\frac{b.c}{a}$ hoặc $h=\frac{a.b}{c}$, trong đó $a$ là cạnh huyền, $b$ và $c$ là hai cạnh góc vuông.

- Hệ thức về đường cao và hình chiếu: Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền: $h^2=b\text{'}.c\text{'}$

- Hệ thức về cạnh góc vuông và hình chiếu: Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền: $b^2=a.c\text{'}$ và $c^2=a.b\text{'}$.

- Công thức nghịch đảo: Nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng các nghịch đảo bình phương của hai cạnh góc vuông: $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

- Mối liên hệ với cạnh huyền: Đường cao ứng với cạnh huyền là trung bình nhân của hai đoạn thẳng mà nó tạo ra trên cạnh huyền.

3. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính x, y trong các trường hợp sau

Hướng dẫn giải

a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:

BC²= AB²+ AC²

BC²= 5²+ 7²

BC²= 74

Suy ra BC = √74

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB² = BD.BC

=> BD = AB²/BC => x = 25/√74

DC = BC - BD = √74 - 25/√74 = 49/√74

Vậy x = 25/√74 và y = 49/√74

b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

AB²= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 hay x = 4.

AC²= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 hay y = √48

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

AC² = CH.BC = 16.BC

AB² + AC² = BC²

⇔ 15² + 16.BC = BC²

⇔ BC² - 16.BC - 225 = 0

⇔ BC² - 25BC + 9BC - 225 = 0

⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0

⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0

⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)

=> AC² = 16.BC = 16.25 = 400

=> AC = 20

+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)

Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ dài phân giác giác góc C

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có

BC² = 50² = 2500

AB² + AC² = 14² + 48² = 2500

=> BC² = AB² + AC²

=> Tam giác ABC vuông tại A

Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính chất tia phân giác)

=> DB = 25/7 DA.

Ta có DA + DB = AB

⇔ DA + 25/7 DA = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ DA = 10,5cm

Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có

CD² = AC² + AD² = 14² + 10,5² = 306,25 => CD = 17,5cm

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB²+ AC² ( theo định lý py-ta-go)

BC² = 24²+ 32²

BC² = 1600

BC = 40(cm)

EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)

Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:

Có ∠A = ∠E = 90^o

∠C chung

=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)

=> AC/EC = AB/ED

=> ED = AB.EC/AC = 15cm

Vậy ED = 15cm

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, chiều cao AH và AB = 5; AC = 12. Đặt BC = y, AH = x. Tính x, y.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC vuông tại A.

Áp dụng định lí Pytago: BC² = AC² + AB² = 12² + 5² = 169.

Suy ra BC = $\sqrt{169}$ = 13

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

AB.AC = BC.AH $\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{5.12}{13}=\frac{60}{13}$

Vậy $AH=x=\frac{60}{13}$; BC = y = 13.

Bài 6: Cho tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 7 và 24. Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Tính độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà đường cao đó chia ra trên cạnh huyền.

Hướng dẫn giải:

Giả sử tam giác ABC vuông tại A với AB = 24 và AC = 7.

Kẻ đường cao AD ứng với cạnh huyền

Áp dụng định lí Pytago: BC² = AC² + AB² = 7² + 24² = 625.

Suy ra BC = $\sqrt{625}$ = 25

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

AC² = CD.BC $\Rightarrow CD=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{7^2}{25}=1,96$

Nên BD = BC – CD = 25 – 1,96 = 23,04.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

AD² = BD.CD Suy ra $AD=\sqrt{BC.CD}=\sqrt{23,04.1,96}=6,72.$

4. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Cho biết AH = 6 cm, BH = 4,5 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC, HC.

b) Cho biết AB = 6 cm, BH = 3 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AH, AC, CH.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính diện tích tam giác ABC biết AH = 12 cm và BH = $\frac{3}{4}$AH.

Bài 3. Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông là 7 và 24. Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Tính độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà đường cao đó chia ra trên cạnh huyền.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết $\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7}$ và AH = 15 cm. Tính độ dài đoạn thẳng HB và HC.

Bài 5. Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D. Đường chéo BD ⊥ BC. Biết AD = 12 cm và DC = 25 cm. Tính độ dài AB, BC và BD.