Hàm số lượng giác là gì? Ứng dụng của hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác là gì? Ứng dụng của hàm số lượng giác

1. Hàm số lượng giác là gì?

Hàm số lượng giác là các hàm toán học mô tả mối quan hệ giữa góc và các tỉ lệ chiều dài của các cạnh trong tam giác vuông, hoặc các điểm trên đường tròn đơn vị, và được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng tuần hoàn như sóng âm và sóng ánh sáng. Các hàm chính bao gồm sin, cos, tan, cot với các đặc điểm riêng về tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ và chu kỳ.

Cụ thể:

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx.

Tập xác định của hàm số sin là ℝ.

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx.

Tập xác định của hàm số côsin là ℝ.

- Hàm số cho bằng công thức y = $\frac{\sin x}{\cos x}$ được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx.

Tập xác định của hàm số tang là R\ .

- Hàm số cho bằng công thức y = $\frac{\cos x}{\sin x}$ được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cotx.

Tập xác định của hàm số côtang là R\{k$\pi$|k$\in$Z}.

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số $y=-\frac{2}{\sin x}$.

Hướng dẫn giải

Biểu thức $-\frac{2}{\sin x}$ có nghĩa khi sinx ≠ 0, tức là x$\ne$k$\pi$ (k$\in$Z).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là R\{k$\pi$|k$\in$Z}.

2. Các hàm số lượng giác cơ bản

2.1. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sin x

Hàm số y = sin x

- Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [–1 ; 1];

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 2ℼ;

- Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng , k ∈ ℤ;

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên [–ℼ; ℼ] để hàm số y = sin x nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn [–ℼ; ℼ], thì y < 0 khi x ∈ (–ℼ; 0).

2.2. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx

Hàm số y = cos x

- Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [–1 ; 1];

- Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2ℼ;

- Đồng biến trên mỗi khoảng ($-\pi +k2\pi ;k2\pi$) và nghịch biến trên mỗi khoảng$\left(k2\pi ;\pi +k2\pi \right)$, k∈ ℤ;

- Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên [–ℼ; ℼ] để hàm số y = cos x nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn [–ℼ; ℼ], thì y > 0 khi x ∈ .

2.3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tan x

Hàm số y = tan x

- Có tập xác định là R\ và tập giá trị là ℝ;

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì ℼ;

- Đồng biến trên mỗi khoảng ; k∈Z

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên để hàm số y = tan x nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn thì y > 0 khi x ∈ .

2.4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cot x

Hàm số y = cot x

- Có tập xác định là R\{k$\pi$|k$\in$Z} và tập giá trị là ℝ;

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì ℼ;

- Nghịch biến trên mỗi khoảng (k$\pi$; $\pi$+k$\pi$), k$\in$Z;

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên để hàm số y = cot x nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn thì y > 0 khi x ∈ .

3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

- Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ D thì –x ∈ D thì f(–x) = f(x).

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.

- Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ D thì –x ∈ D thì f(–x) = – f(x).

Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Nhận xét: Để vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ), ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của hàm số nằm ở bên phải trục tung, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung (tương ứng, qua gốc tọa độ), ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.

Ví dụ: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = x² – 3.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có: f(–x) = (–x)² – 3 = x² – 3 = f(x).

Vậy f(x) là hàm số chẵn.

b) Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có:

i) x + T ∈ D và x – T ∈ D;

ii) f(x + T) = f(x).

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Nhận xét:

a) Các hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kì 2ℼ. Các hàm số y = tanx và y = cotx tuần hoàn với chu kì ℼ.

b) Để vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn với chu kì T, ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên đoạn [a; a + T], sau đó dịch chuyển song song với trục hoành phần đồ thị đã vẽ sang phải và sang trái các đoạn có độ dài lần lượt là T, 2T, 3T, … ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.

Chú ý: Tổng quát, người ta chứng minh được các hàm số y = Asinωx và y = Acosωx (ω ≠ 0) là những hàm số tuần hoàn với chu kì T =.

Ví dụ: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cos2x.

Hướng dẫn giải

Hàm số có tập xác định là ℝ và với mọi số thực x, ta có:

x – ℼ ∈ ℝ, x + ℼ ∈ ℝ

cos2(x + ℼ) = cos (2x + 2ℼ) = cos2x

Vậy y = cos2x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = ℼ.

4. Bài tập Hàm số lượng giác

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1+\sin x}{\cos x}$;

b) $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức $\frac{1+\sin x}{\cos x}$ có nghĩa khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ $\frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{1+\sin x}{\cos x}$ là D = R\.

b) Biểu thức $\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$ có nghĩa khi (1)

Mặt khác, vì –1 ≤ cosx ≤ 1 ∀x ∈ ℝ nên 1 + cosx ≥ 0 và 1 – cosx ≥ 0

⇒ $\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\ge 0$ khi 1 – cosx ≠ 0

Do đó (1) ⇔ 1 – cosx ≠ 0 ⇔ cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k2ℼ (k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$ là D = ℝ \ {k2ℼ | k ∈ ℤ}.

Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) f(x) = sinx cosx;

b) g(x) = sin²x + cos2x.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có f(–x) = sin(–x) cos(–x) = –sinx . cosx = – f(x).

Vậy hàm số f(x) = sinx cosx là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số g(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có g(–x) = sin²(–x) + cos2(–x) = [–sinx]² + cos(–2x) = sin²x + cos2x = f(x).

Vậy hàm số g(x) = sin²x + cos2x là hàm số chẵn.

Bài 3. Tìm tập giá trị của hàm số sau:

a) y = 1+ $\sqrt{\sin x}$;

b) y = 3cos - 1.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của hàm số là sin x ≥ 0;

Vì –1 ≤ sin x ≤ 1 nên kết hợp với điều kiện xác định, ta có 0 ≤ sin x ≤ 1

Suy ra $0\le \sqrt{s\text{inx}}\le 1$ ⇒ 1+0 $\le$1 + $\sqrt{\sin x}$ $\le$ 1 + 1 ⇒ 1$\le$1+$\sqrt{\sin x}$$\le$2

⇒ 1 ≤ y ≤ 2

Vậy tập giá trị của hàm số y=1+$\sqrt{\sin x}$ là [1; 2].

b) Ta có $-1\le \cos$$\le$1, $\forall$x$\in$R ⇔ -3$\le$3cos $\le$3, $\forall$x$\in$R

⇔ -4$\le$3cos - 1$\le$2, $\forall$x$\in$R

⇔ –4 ≤ y ≤ 2, ∀x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = 3cos - 1 là [–4; 2].

5. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Giá trị x ∈ (0,π) thoả mãn điều kiện cos²x + sinx – 1 = 0 là:

Lời giải:

Đáp án: A

cos²⁡x + sin⁡x-1 = 0 ⇔ -sin²⁡x+ sin⁡x=0

x ∈ (0,π) nên x = π/2 (k=0).

Bài 2: Tập nghiệm của phương trình: 3sin²x - 2√3 sinxcosx - 3cos²x = 0 là:

Lời giải:

Đáp án: A

3sin²⁡x - 2√3 sin⁡xcos⁡x - 3 cos²⁡x=0 (1)

Xét cos⁡x=0 (1) ⇔ sin⁡x=0 (vô lý do: sin²⁡x +cos²⁡x=1)

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của (1) cho cos²⁡x. Ta được :

3tan²⁡x-2√3 tan⁡x-3=0

Bài 3: Tổng các nghiệm của phương trình cos2x - √3sin2x = 1 trong khoảng (0;π) là:

A. 0 B. π C. 2π D. 2π/3

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có

cos⁡2x - √3sin⁡2x=1

Bài 4: Giải phương trình sau:

Lời giải:

Đáp án: D

Vậy chọn D.

Bài 5: Nghiệm của phương trình 2(sinx + cosx) + sinxcosx = 2 là:

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt t = sinx + cosx. Đk: |t| ≤ √2. Khi đó

Ta có phương trình đã cho có dạng:

Bài 6: Phương trình cos(πcos2x) = 1 có nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án: B

cos⁡(π cos⁡2x )=1

⇔ π cos⁡2x=k2π

⇔ cos⁡2x=2k. Để pt có nghiệm thì |2k| ≤ 1⇔|k| ≤ 1/2

Mà k nguyên ⇒ k=0

Bài 7: Tập nghiệm của phương trình tanx + cotx -2 = 0 là:

Lời giải:

Đáp án: B

ĐK: x ≠ kπ/2 (k ∈ Z)

tan⁡x + cot⁡x - 2=0

Bài 8: Phương trình 3sin²x + msin2x – 4cos²x = 0 có nghiệm khi:

A. m = 4 B. m ≥ 4 C. m ≤ 4 D. m ∈ R

Lời giải:

Đáp án: D

3sin²⁡x + m sin⁡2x - 4cos²⁡x=0

Xét cos⁡x=0. PT vô nghiệm

Xét cos⁡x≠0. Chia cả 2 vế của PT cho cos²⁡x:

3 tan²⁡x+ 2m tan⁡x-4=0

Δ'=m²+12 > 0 ∀m

⇒ PT luôn có nghiệm với ∀m.

Bài 9: Tập nghiệm của phương trình

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có PT

⇔ 1 + sin⁡x + √3cos⁡x = 2

Bài 10: Giải phương trình: cos2x.tanx = 0.

Lời giải:

Đáp án: D

ĐK: x ≠ π/2+kπ (k ∈ Z)

Bài 11: Nghiệm của phương trình |sinx-cosx| + 8sinxcosx = 1 là:

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt t = sinx - cosx. Đk: |t| ≤ √2. Khi đó

Ta có: |t| – 4(1 - t²)=1

Bài 12: Điều kiện của phương trình: cos3xtan5x = sin7x là:

Lời giải:

Đáp án: B

ĐKXĐ:

Bài 13: Tập nghiệm của phương trình 2cos²5x + 3cos5x – 5 = 0 thuộc khoảng (0;π) là:

Lời giải:

Đáp án: B

2cos²⁡5x+3 cos⁡5x-5=0

Bài 14: Nghiệm của phương trình sin²x – sinxcosx = 1 là:

Lời giải:

Đáp án: A

sin²⁡x-sin⁡x cos⁡x=1 (1)

Xét cos⁡x=0. Ta có (1) ⇔ sin²⁡x=1 ⇔ x = π/2+kπ (k ∈ Z).

Xét cos⁡x≠0. Chia cả 2 vế của PT cho cos²⁡x ta có:

tan²⁡x - tan⁡x = 1/cos²⁡x

⇔ tan²⁡x - tan⁡x = tan²⁡x + 1

⇔ tanx = -1

Bài 15: Điều kiện của phương trình: là:

A. cos2x ≠ 0 C. cos2x ≥ 0

B. cos2x > 0 D. Không xác định tại mọi x.

Lời giải:

Đáp án: C

ĐKXĐ: cos2x ≥ 0. Chọn C.

Bài 16: Tìm tất cả các giá trị thực của m đế phương trình sinx = m có nghiệm.

A. m ≠ 1 C. m ≠ -1

C. -1 ≤ m ≤ 1 D. m > 1

Lời giải:

Đáp án: C

sin⁡x = m có nghiệm ⇔|m| ≤ 1.

Bài 17: Một nghiệm của phương trình sin³x - cos³x = sinx –cosx là:

Lời giải:

Đáp án: A

PT ⇔ (sinx – cosx)( sin²x + cos²x + sinxcosx -1) = 0

Bài 18: Phương trình sinx = cosx có số nghiệm thuộc đoạn [0;π] là:

A.1 B.4 C.5 D.2

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có sinx = cosx

Do x ∈ [0;π] nên k = 0. Vậy chỉ có 1 nghiệm của phương trình thuộc [0;π].

Bài 19: Tập nghiệm của phương trình sin⁴x – 13sin²x + 36 = 0 là:

Lời giải:

Đáp án: D

sin⁴⁡x - 13sin²⁡x + 36 = 0

Bài 20: Nghiệm của phương trình cos²x - √3sin2x = 1 + sin²x là:

Lời giải:

Đáp án: D

cos²⁡x - √3 sin⁡2x = 1 + sin²⁡x (1)

Xét cos⁡x = 0. PT vô nghiệm

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả 2 vế của PT cho cos²⁡x ta có:

Bài 21: Tập nghiệm của phương trình √3 sinx+cosx=1/cosx thuộc (0;2π) là:

Lời giải:

Đáp án: A

ĐK: cosx ≠ 0.

Bài 22: Tìm tất cả các giá trị thực của m đế phương trình cosx - m = 0 có nghiệm.

A. m ∈ (-∞,-1] C. m ∈ (1,+∞]

C. m ∈ [-1,1] D. m ≠ -1

Lời giải:

Đáp án: C

cos⁡x - m = 0 có nghiệm ⇔ cos⁡x = m có nghiệm ⇔ |m| ≤ 1. Chọn C.

Bài 23: Tập nghiệm của phương trình tanx + cotx -2 = 0 là:

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt t = sinx + cosx. Đk: |t| ≤ √2.

Ta có phương trình đã cho có dạng:

Bài 24: Phương trình sin2x = 1 có nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án: D

Hướng dẫn giải. Ta có: sin2x = 1 ⇔ 2x = π/2 + k2π ⇔ x = π/4 + kπ, k ϵ ℤ.

Từ đó suy ra đáp án là D.

Bài 25: Số phần tử thuộc tập nghiệm của phương trình 4sinx = 1/sinx trong khoảng [0;2π}

A. 2 B.4 C.6 D.8

Lời giải:

Đáp án: B

ĐK: sinx ≠ 0

4sin⁡x = 1/sin⁡x

⇔ sin²⁡x = 1/4

⇔ sin⁡x = ± 1/2

Bài 26: Số nghiệm của phương trình sin²x + 2sinxcosx + 3cos²x = 3 thuộc khoảng (0; 2π)

A. 1 B.2 C.3 D.4

Lời giải:

Đáp án: C

sin²⁡x + 2 sin⁡xcos⁡x + 3 cos²⁡x=3

Xét cos⁡x = 0. PT vô nghiệm

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả 2 vế của PT cho cos²⁡x ta có:

tan²⁡x + 2 tan⁡x+3 = 3 tan²⁡x+3

⇔ tan²⁡x - tan⁡x = 0

Bài 27: Phương trình (m + 2)sinx – 2mcosx = 2(m + 1) có nghiệm khi:

Lời giải:

Đáp án: A

PT đã cho

⇔ 4(m+1)² ≤ (m+2)² + 4m²

⇔ m² + 4m ≥ 0

Bài 28: Số nghiệm của phương trình sin(2x – 40º) = 1 với -180º < x < 180º là:

A.1 B.2 C.3 D.4

Lời giải:

Đáp án: B

sin⁡(2x-40º) = 1 ⇔ 2x-40º = 90º + k360º ⇔ x = 65º + k180º

-180º < x < 180º → x = 65º (k=0), x= -115º (k= -1) .Chọn B.

Bài 29: Tập nghiệm của phương trình cos³x + sin³x = sinx + cosx là:

Lời giải:

Đáp án: B

cos³x + sin³x = sinx + cosx ⇔ (sinx + cosx) (1 – sinxcosx) = 0

Bài 30: Phương trình sin² (x/3) = 1 có nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có: sin² (x/3) = 1 ⇔ cos² (x/3) = 0 ⇔ x/3 = π/2 + kπ