Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp? Ứng dụng vào các bài toán đếm

Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp? Ứng dụng vào các bài toán đếm

1. Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là P_n, được tính bằng công thức

P_n = n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.

Chú ý :

+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : P_n = n!.

Chẳng hạn với n = 3 ta có P₃ = 3! = 3.2.1 = 6.

+ Quy ước 0! = 1.

Ví dụ : Từ 3 chữ số 1, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách sắp xếp ba chữ số đã cho để lập thành một số có ba chữ số khác nhau là một hoán vị của ba chữ số đó.

Do đó ta có số các số thỏa mãn là: P₃ = 3! = 3.2.1 = 6 (số).

Vậy có 6 số có ba chữ số khác nhau lập từ ba chữ số 1, 6, 9.

2. Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_n^k$, được tính bằng công thức:

$A_n^k$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$(1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy P_n = $A_n^n$

Ví dụ: Một nhóm có 8 học sinh, giáo viên muốn chọn ra hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn lần lượt 2 bạn trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó là một chỉnh hợp chập 2 của 8 học sinh.

Ta có : $A_8^2=\frac{8!}{(8-2)!}=56$

Vậy có 56 cách chọn ra 2 trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó.

3. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_n^k$, được tính bằng công thức :

$C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}(0\le k\le n)$

Chú ý :

+) <$C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Ví dụ : Một tổ có 10 người, bạn tổ trưởng muốn cử ra 5 bạn đi trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn lần lượt 5 bạn trong 10 bạn đi trực nhật là một tổ hợp chập 5 của 10.

Ta có $C_{10}^5=\frac{10!}{(10-5)!5!}=252$

Vậy có 252 cách chọn 5 trong 10 bạn đi trực nhật.

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính P_n, $A_n^k$, $C_n^k$ sẽ được dùng rất nhiều.

Ví dụ : Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã mở cửa. Gia đình bác An đặt mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi bác An có bao nhiêu cách tạo mật mã ?

Hướng dẫn giải

Các chữ số có một chữ số để tạo mật mã là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Vì mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau nên mỗi mật mã là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.

Ta có $A_{10}^6=\frac{10!}{(10-6)!}=151200$

Vậy có 151 200 cách để bác An tạo mật mã cửa.

5. Sử dụng máy tính cầm tay

Ta có thể dùng máy tính cầm tay để tính số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Hoán vị

Để tính n!, ta ấn phím theo trình tự sau :

Ấn số n, ấn phím, sau đó ấn phím. Khi đó kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ : Tính 9!

Ta ấn liên tiếp các phím như sau

Dòng kết quả hiện ra 362 880.

Vậy 9! = 362 880.

Chỉnh hợp

Để tính $A_n^k$ ta ấn theo trình tự sau :

Ấn số n, ấn phímấn số k, sau đó ấn phím. Khi đó kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ: Tính $A_{15}^2$

Ta ấn các phím theo trình tự sau :

Dòng kết quả hiện ra 210.

Vậy $A_{15}^2$ = 210.

Tổ hợp

Để tính <$C_n^k$ ta ấn phím theo trình tự sau :

Ấn số n, ấn phím, ấn số k, sau đó ấn phím. Khi đó, kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ: Tính $C_{20}^5$

Ta ấn các phím theo trình tự sau :

Dòng kết quả hiện ra 15 504.

Vậy $C_{20}^5$= 15 504.

6. Bài tập Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 1: Giáo viên muốn xếp 4 học sinh ngồi cùng một bàn có bốn chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp bốn học sinh đó vào vị trí chỗ ngồi?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách xếp bốn học sinh vào bốn vị trí chỗ là một hoán vị của bốn học sinh đó.

Do vậy ta có P₄ = 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp.

Vậy có 24 cách xếp bốn học sinh vào bốn vị trí chỗ ngồi.

Bài 2: Một nhóm gồm 22 học sinh, giáo viên muốn lấy ra một đội gồm 8 bạn tham gia chơi trò chơi dân gian. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách để chọn?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách lấy 8 học sinh từ 22 học sinh là một tổ hợp chập 8 của 22 học sinh.

Ta có: $C_{22}^8=\frac{22!}{(22-8)!8!}=319\text{770}$

Vậy có 319 770 cách lấy 8 học sinh từ 22 học sinh để tham gia chơi trò chơi.

Bài 3: Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số sau: 9, 5, 4, 8, 3.

Hướng dẫn giải

Mỗi cách lấy ba trong năm chữ số sau đó sắp xếp chúng thành số có ba chữ số khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số.

Ta có: $A_5^3=\frac{5!}{(5-3)!}=60$

Vậy có 60 số có ba chữ số khác nhau mà các chữ số đó lấy từ năm chữ số : 9, 5, 4, 8, 3.

Bài 4: Sử dụng máy tính cầm tay hãy tính:

a) P₇;

b) <$A_{21}^6$

c) <$C_9^3$

Hướng dẫn giải

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được các kết quả sau:

a) Ta ấn các phím theo trình tự sau:

Dòng kết quả hiện ra là 5 040.

Vậy P₇ = 5 040.

b) Ta ấn các phím theo trình tự sau:

Dòng kết quả hiện ra là 39 070 080.

Vậy $A_{21}^6=39070080$

c) Ta ấn các phím theo trình tự sau:

Dòng kết quả hiện ra là 84.

Vậy $C_9^3=84$

7. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho các số 1; 5; 6; 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau?

A. 12 B. 24 C. 64 D. 256

Câu 2. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghế?

A. 120 B. 16 C. 12 D. 24

Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ?

Câu 4. Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?

A. 30240 cách B. 720 cách C. 362880 cách D. 1440 cách

Câu 5. Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người, hỏi có bao nhiêu cách lập?

A. 25 B. 252 C. 50 D. 455

Câu 6. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn một bó hồng gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ?

A. 10 cách B. 20 cách C. 120 cách D. 150 cách

Câu 7. Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?

A. 6720 số B. 4032 số C. 5880 số D. 840 s

Câu 8. Sắp xếp 5 học sinh lớp A và 5 học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế sao cho 2 học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp. Khi đó số cách xếp là:

A. 460000 B. 460500 C. 460800 D. 490900

Câu 9. Một nhóm gồm 6 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 3 học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam.

A. 245 B. 3480 C. 336 D. 251

Câu 10. Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 học sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ?

A. 5760 B. 2880 C. 120 D. 362880

Câu 11. Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là ?

A. 545 B. 462 C. 455 D. 456

Câu 12. Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ?

A. 280 B. 400 C. 40 D. 1160

Câu 13. Một túi đựng 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà 4 viên bi lấy ra có đủ hai màu.

A. 300 B. 310 C. 320 D. 330

Câu 14. Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơcó điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?

A. 15 B. 12 C. 1440 D. 30

Câu 15. Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau. Trên d₁ lấy 5 điểm phân biệt, trên d₂ lấy 7 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các điểm trên hai đường thẳng d₁ và d₂.

A. 220 B. 175 C. 1320 D. 7350

Bài 16. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 được bắt đầu bởi chữ số 5?

Bài 17. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7? Trong những số đó có bao nhiêu số lẻ?

Bài 18. Có 6 chiếc ghế ở trong một phòng học. Hỏi có 6 học sinh ngồi vào thì có bao nhiêu cách xếp? Nếu có một bạn An (có trong 6 học sinh trên) muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái thì có bao nhiêu cách xếp?

Bài 19. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi:

a. Có tất cả bao nhiêu số?

b. Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

c. Có bao nhiêu số bé hơn 432.000?

Bài 20. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 8 người vào 8 ghế kê thành một dãy?

Bảng đáp án