Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D

Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:

Kí hiệu:

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:

Kí hiệu:

2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm các nghiệm của f'(x) và các điểm f'(x)trên K.

Bước 3. Lập bảng biến thiên của f(x) trên K.

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận

3. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên

Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a; b]

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm x_i ∈[a; b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm α_i ∈ [a; b] làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3.Tính f(a), f(b), f(x_i), f(α_i).

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận

Trường hợp 2. Tập K là khoảng (a; b)

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm x_i ∈ (a; b) của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm α_i ∈ (a; b) làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3. Tính

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận

Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³ - 3x² - 9x + 2 trên đoạn [-2; 2].

Hướng dẫn

Ta có: y' = 3x² - 6x - 9 = 0 ⇔

Mà y(-2) = 0; y(2) = -20; y(-1) = 7.

Suy ra

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hướng dẫn

Tập xác định: D = [-2; 2]. Ta có:

Khi đó y' = 0 ⇔

Có y(√2) = 2√2, y(2) = 2 ,y(-2) = -2.

Vậy

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x - sin⁡2x trên đoạn [π/2; π]

Hướng dẫn

Ta có y' = 1 - 2cos2x = 0 ⇔ cos2x = 1/2 = cos π/3 ⇔ x = ±π/6 + kπ.

Xét x ∈[(-π)/2; π] ta được x = ±π/6; x = 5π/6.

f((-π)/2) = -π/2; f(π) = π; f((-π)/6) = -π/6 + √3/2; f(π/6) = π/6 - √3/2; f(5π/6) = 5π/6 + √3/2.

Suy ra

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² - 9x + 35 trên đoạn [-4; 4]

Lời giải:

Hàm số f(x) liên tục trên [-4; 4]

Ta có f'(x) = 3x² - 6x - 9; f'(x) = 0 ⇔

f(-4) = -41; f(-1) = 40; f(3) = 8;f(4) = 15.

Do đó

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0; 2]

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [0; 2].

Ta có

Tính y(0) = 1/3; y(2) = -5.

Suy ra

Câu 3: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2; 4]. Tìm m.

Lời giải:

Hàm số liên tục trên đoạn [2;4].

Ta có

Tính y'(2) = 7; y'(4) = 19/3; y'(3) = 6.

Suy ra m = 6.

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 6]

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [-1; 6].

Ta có:

y' = 0 ⇔ x = 5/2 ∈[-1; 6].

y(-1) = y(6) = 0, y(5/2) = 7/2.

Vậy

Câu 5: Tìm tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = |x| + 3 trên [-1; 1]

Lời giải:

Ta có

Ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho.

Vậy

Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 3]

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [0; 3].

Ta có:

y' = 0 ⇔

Tính y(1) = -5√5; y(0) = -12; y(2) = -8√2; y(3) = -3√13.

Suy ra

Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin² x + 2sinx - 1 bằng

Lời giải:

TXĐ: D = R . Đặt t = sinx, -1 ≤ t ≤ 1. Khi đó y = f(t) = 2t² + 2t - 1

Ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(t) trên đoạn [-1; 1]. Đó cũng là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R.

Ta có: f'(t) = 4t + 2; f'(t) = 0 ⇔ t = -1/2 ∈(-1; 1); f(-1) = -1; f(-1/2) = -3/2; f(1) = 3

Do đó

Câu 8: Cho hàm số Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Tìm M và m.

Lời giải:

Đặt t = sinx, -1 ≤ t ≤ 1 ⇒