Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức tích phân từng phần

Tích phân từng phần

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

A. π² − 4 B. π² + 4 C. 2π² − 3 D. 2π² + 3

Lời giải:

Đáp án: A

*Đặt

Khi đó:

Đặt

Khi đó:

Vậy: I = π² + 2(−2) = π² − 4

Ví dụ 2. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có

Đặt

Ví dụ 3. Tính

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có

Đặt

Đặt

Vậy

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

+ Tính

Đặt

+ Tính Đặt x = π − t => dx = −dt

Đặt t = cosx => dt = −sinx.dx , đặt t = tanu => dt = (1 + tan²u)du

Vậy

Dạng 4.2. Tích phân có dạng trong đó P(x) là đa thức

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt u = x; dv = e^−x.dx, suy ra du = dx; v = −e^−x

Ví dụ 2. Tìm a > 0 sao cho

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt u = x, , suy ra du = dx,

Theo giả thiết ta có:

Ví dụ 3. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt

Vậy

Ví dụ 4. Tính

A. 0 B.1 C. 2 D. 3

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có

Đặt

Dạng 4.3. Tích phân có dạng:

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân bằng:

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt u = lnx, dv = (2x − 1)dx suy ra , v = x² − x

Ví dụ 2. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt

Do đó

Ví dụ 3. Tính

A. 3ln3 B. 2ln3 C. 3ln3 − 2. D. 2 − 3ln3.

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt u = ln(x² − x); dv = dx

Suy ra:

Ví dụ 4. Tính

A. 20ln2 − 6ln3 − 4 B. 10ln2 + ln3 − 1

C. 12ln2 + 2ln3 − 3 D.10 ln 3 − 2ln 2 − 3

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt

Tính

Đặt t = √(x + 1)

Từ đó I = 20 ln2 − 6ln 3 − 4

Ví dụ 5. Tính

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt

Do đó

Dạng 4.4. Tích phân có dạng: .

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy

Bằng phương pháp tương tự ta tính được sau đó thay vào I.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Trong đó

* Ta tính H

Đặt:

Từ (1) và (2) suy ra,

Ví dụ 2. Tính

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt

Ví dụ 3. Tính

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt

Ví dụ 4. Tính

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt

Đặt

Đặt

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 khác:

• Phương pháp tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản (cực hay)
• Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số (cực hay)