Lý thuyết, cách xác định và bài tập các đường trung tuyến trong tam giác vuông

Đường trung tuyến trong tam giác vuông

1. Phương pháp giải

Đối với một số bài toán liên quan đến tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều, ta có thể sử dụng một số tính chất sau để giải quyết bài toán:

– Trong tam giác cân (hoặc tam giác đều) đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân của tam giác.

– Chú ý: Ta có thể dễ dàng chứng minh được một số tính chất sau:

⦁ Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

⦁ Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

⦁ Trong tam giác đều, trọng tâm của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.

⦁ Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, trung tuyến $\mathrm{AM}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}.$ Chứng minh $\widehat{\mathrm{BMA}}=2\widehat{\mathrm{MAC}}$ và $\widehat{\mathrm{CMA}}=2\widehat{\mathrm{MAB}}.$

Hướng dẫn giải:

Do AM là đường trung tuyến của ∆ABC và $\mathrm{AM}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$ nên $\mathrm{MA}=\mathrm{MB}=\mathrm{MC}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$

Suy ra ΔMAB, ΔMAC là các tam giác cân tại M.

Do đó $\widehat{\mathrm{MAB}}=\widehat{\mathrm{MBA}};\widehat{\mathrm{MAC}}=\widehat{\mathrm{MCA}}.$

Xét ∆ACM có $\widehat{\mathrm{BMA}}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh M nên

$\widehat{\mathrm{BMA}}=\widehat{\mathrm{MAC}}+\widehat{\mathrm{MCA}}=2\widehat{\mathrm{MAC}}.$

Tương tự, ta cũng có $\widehat{\mathrm{CMA}}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh M của ∆ABM nên

$\widehat{\mathrm{CMA}}=\widehat{\mathrm{MAB}}+\widehat{\mathrm{MBA}}=2\widehat{\mathrm{MAB}}.$

Ví dụ 2. Chứng minh rằng trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM. Ta sẽ chứng minh $\mathrm{AM}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}.$

Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD = MA.

Ta có $\mathrm{AM}=\frac{1}{2}\mathrm{AD},$ cần chứng minh AD = BC.

Xét ∆BMD và ∆CMA có:

MB = MC (do M là trung điểm của BC);

$\widehat{\mathrm{BMD}}=\widehat{\mathrm{CMA}}$ (đối đỉnh);

MD = MA (theo cách dựng)

Do đó ∆BMD = ∆CMA (c.g.c).

Suy ra BD = CA (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{\mathrm{DBM}}=\widehat{\mathrm{ACM}}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{\mathrm{DBM}}$ và $\widehat{\mathrm{ACM}}$ ở vị trí so le trong nên BD // AC

Lại có $\widehat{\mathrm{BAC}}=90°$ nên $\widehat{\mathrm{ABD}}=90°.$

Xét ∆CAB và ∆DBA có:

$\widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{\mathrm{ABD}}=90°;$

AB là cạnh chung;

AC = BD (chứng minh trên)

Do đó ∆CAB = ∆DBA (hai cạnh góc vuông)

Suy ra BC = AD (hai cạnh tương ứng)

Vậy $\mathrm{AM}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}.$

Ví dụ 3. Cho ΔABC vuông tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Tính $\widehat{\mathrm{ABD}}.$

Hướng dẫn giải:

Xét ΔAMC và ΔDMB có:

MC = MB (do M là trung điểm của BC);

$\widehat{\mathrm{AMC}}=\widehat{\mathrm{DMB}}$ (hai góc đối đỉnh);

MA = MD (giả thiết)

Do đó: ΔAMC = ΔDMB (c.g.c).

Suy ra $\widehat{\mathrm{MAC}}=\widehat{\mathrm{MDB}}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat{\mathrm{DAC}}=\widehat{\mathrm{ADB}}$

Mà hai góc DAC và ADB ở vị trí so le trong nên BD // AC.

Mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ BD (từ vuông góc đến song song)

Do đó $\widehat{\mathrm{ABD}}=90°.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Biết $\widehat{\mathrm{BAM}}=30°,$ số đo $\widehat{\mathrm{CAM}}$ là

A. 15°;

B. 30°;

C. 45°;

D. 60°.

Bài 2. Cho tam giác ABC, AM là đường trung tuyến. Biết AM = MB = MC. Cho biết tam giác ABC là tam giác gì?

A. ΔABC cân tại A;

B. ΔABC vuông tại A;

C. ΔABC đều;

D. ΔABC vuông cân tại A.

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH ⊥ BC. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB. Điểm C là trọng tâm của tam giác nào?

A. ΔABD;

B. ΔADE;

C. ΔABE;

D. ΔAHE.

Bài 4. Cho ΔABC có hai đường trung tuyến BN, CP vuông góc với nhau tại G. Biết độ dài BC = 5cm. Độ dài AG là:

A. 2 cm;

B. 3 cm;

C. 5cm;

D. 8 cm.

Bài 5. Cho ΔABC vuông tại A, trung tuyến AM. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\mathrm{AM}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}{2};$

B. $\mathrm{AM}>\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}{2};$

C. $\mathrm{AM}<\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}{2};$

D. AM = AB + AC.

Bài 6. Cho ΔABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Tam giác GBC là tam giác

A. cân tại G;

B. vuông tại G;

C. đều;

D. cân tại B.

Bài 7. Cho ΔABC cân tại A có đường trung tuyến AM. Số đo $\widehat{\mathrm{AMB}}$ là

A. 45°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 90°.

Bài 8. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD; CE sao cho BD = CE. Khi đó tam giác ABC là tam giác

A. cân tại B;

B. cân tại C;

C. vuông tại A;

D. cân tại A.

Bài 9. Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. GA = GB = GC;

B. GA = GB > GC;

C. GA < GB < GC;

D. GA > GB > GC.

Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường phân giác của góc A cắt đường trung tuyến BD tại K. Gọi I là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Ba điểm C, K, I thẳng hàng.

B. K là trọng tâm của tam giác ABC.

C. AK là đường trung tuyến của tam giác ABC;

D. BD là đường phân giác của tam giác ABC.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay khác:

• Nhận biết trung tuyến, trọng tâm tam giác và sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác

• Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác