Tính tổng dãy số

Tính tổng dãy số

I. Lý thuyết

Bài toán tính tổng dãy số là bài toán cho một dãy số gồm nhiều số hạng. Trước mỗi số hạng trong dãy có thể là dấu cộng hoặc dấu trừ, nên dãy số có thể chứa cả những số hạng mang dấu cộng và cả những số hạng mang dấu trừ.

Số số hạng của dãy = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : Đơn vị khoảng cách + 1

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Dãy số 2 + 4 + 6 + ... + 48 + 50

Số số hạng của dãy số trên là:

(50 - 2) : 2 + 1 = 25 (số hạng)

Tổng của dãy số cách đều trên là:

( 2 + 50 ) x 25 : 2 = 650

Ví dụ 2: Dãy số 1 + 3 + 5 + 7 + ... có 25 số hạng. Tìm số hạng cuối của dãy số trên?

Số hạng cuối của dãy số trên là:

1 + ( 25 - 1) x 2 = 49

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm số hạng đầu tiên của dãy số cách đều biết dãy có 50 số hạng, số cuối bằng 100, khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy là 2 đơn vị.

Số hạng đầu của dãy số cách đều đó là:

100 - ( 50 - 1 ) x 2 = 2

Trong đó:

• 100 là Số hạng cuối
• 50 là Số số hạng
• 2 là Đơn vị khoảng cách

Bài 2: Dãy số 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100

Số số hạng của dãy số trên là:

( 100 - 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng)

Tổng của dãy số trên là:

( 1 + 100) x 100 : 2 = 5050

Trung bình cộng của dãy số trên là:

5050 : 100 = 50,5

Trong đó:

• 5050 là tổng của dãy số
• 100 là số số hạng

Bài 3: Tính A = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4+….+n x (n + 1)

Lời giải

3 x A = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 3 + 3 x 4 x 3+…+n x (n + 1) x 3

= 1 x 2 x (3 – 0) + 2 x 3 x (4 – 1) + 3 x 4 x (5 – 2)+….+n x (n + 1) x [(n + 2) – (n + 1)]

= 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4+….+n x (n + 1) x (n + 2) – (n – 1) x n x (n + 1)

= n x (n + 1) x (n + 2)

=> A = n x (n + 1) x (n + 2) : 2

Bài 4: Tính giá trị của T biết: T = 2 + 3 + 4 + 5 +….+ 2015

Lời giải

Dãy số trên có số số hạng là: (2015 – 1) : 2 + 1 = 1008

Giá trị của T là: (2015 + 2) x 1008 : 2 = 1016568

Đáp số: 1016568

Bài 5: Tính tổng 40 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy số là 2011?

Lời giải

Số hạng bé nhất trong dãy số đó là: 2011 – (40 – 1) x 2 =1933

Tổng của 40 số lẻ cần tìm là: (2011 + 1933) x 40 : 2 = 78880

Đáp số: 78880

Bài 6: Một khu phố có 25 nhà. Số nhà cuả 25 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 25 số nhà của dãy số đó bằng 1145. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của khu phố đó là số bao nhiêu?

Lời giải

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu tiên là: (25 – 1) x 2 = 48

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 1145 x 2 : 25 = 91,6

Số nhà đầu tiên trong khu phố đó là: (91,6 – 48) : 2 = 21,8

Đáp số: 21,8

Bài 7: Tính M = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 +….+ (n – 1) x n x (n + 1)

Lời giải

4 x M = 1 x 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 4+ … + (n – 1) x n x (n + 1) x 4

= 1 x 2 x 3 x (4 – 0) + 2 x 3 x 4 x (5 – 1)+….+ (n – 1) x n x (n + 1) x [(n + 2) – (n – 2)]

= 1 x 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 5 – 1 x 2 x 3 x 4 +….+ (n – 1) x n x (n + 1) x (n + 2) – (n – 2) x (n – 1) x n x (n + 1)

= (n – 1) x n x (n + 1) x (n + 2)

=> M = (n – 1) x n x (n + 1) x (n + 2) : 4

Bài 8: Tính giá trị của T với T = 2 + 3 + 4 + 5 +…+ 2015

Bài 9: Tính N = 1.4 + 2.4 + 3.6 + 4.7+…+ n(n + 3)

Bài 10: Tính tổng 40 số lẻ liên tiếp, biết số lẻ lớn nhất là 2011.

Bài 11: Một khu phố có 25 nhà với số nhà là các số lẻ liên tiếp, tổng số nhà là 1145. Hỏi số nhà đầu tiên là bao nhiêu?