Trọng tâm của tam giác là gì? Cách xác định trọng tâm tam giác

Trọng tâm của tam giác là gì? Cách xác định trọng tâm tam giác

I. Trọng tâm là gì?

Trọng tâm của một vật thể là điểm mà khi đặt một trụ thẳng đứng vào điểm đó, vật thể có thể đứng cân bằng.

Trọng tâm được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày theo cả nghĩa đen và nghĩa bóng, chỉ một điểm trung tâm, chính giữa của một vật, một vấn đề. Trong toán học, người ta thường sử dụng trọng tâm trong hình học, chẳng hạn: trọng tâm tam giác, trọng tâm hình chữ nhật, trọng tâm của tứ giác ...

II. Trọng tâm của tam giác là gì?

Một tam giác có 3 đường trung tuyến, đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.

Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.

Ví dụ: Cho tam giác ABC với AM, BN, CP lần lượt là 3 đường trung tuyến xuất phát từ 3 đỉnh A, B, C.

Khi đó, các đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại điểm G. Vì vậy, G chính là trọng tâm của tam giác ABC đã cho.

III. Tính chất của trọng tâm tam giác

• Trung điểm các cạnh tam giác: Trung điểm là điểm nằm chính giữa của mỗi cạnh trên hình tam giác. Đồng thời, nó cũng là điểm nối từ đỉnh đối diện đi qua trọng tâm của tam giác.

• Tâm đối xứng: Trọng tâm cũng được hiểu là tâm đối xứng trong hình tam giác. Ví dụ, nếu chúng ta kẻ đường thẳng từ tâm nối với đỉnh thì tam giác sẽ được chia thành hai phần tương tự.

• Giao điểm đường trung tuyến: Đây chính là điểm nằm ở vị trí giao nhau của 3 đường trung tuyến. Một điều đặc biệt là ngay tại trọng tâm tam giác, bạn sẽ vẽ ra được 3 đoạn thẳng nối với 3 trung điểm để tạo thành 3 đoạn đường trung tuyến.

• Tam cân của hình tam giác đều: Khi tìm hiểu tính chất trọng tâm là gì, bạn cũng sẽ nắm rõ khái niệm tâm cân. Trên thực tế, trong tam giác đều thì tâm cân cũng có nghĩa chính là trọng tâm. Hiểu đơn giản thì khoảng cách từ tâm cân tới từng đỉnh sẽ bằng nhau. Ngay tại điểm này, nó cũng là vị trí giao nhau của 3 đường trung tuyến đi qua.

IV. Cách xác định trọng tâm tam giác

Cách 1: Dựa vào khái niệm trọng tâm tam giác là giao điểm 3 đường trung tuyến, ta xác định trọng tâm tam giác bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến.

Bước 1: Vẽ tam giác ABC, lần lượt xác định trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.

Bước 2: Nối lần lượt các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Nối A với G, B với F, C với E.

Bước 3: Giao điểm I của ba đường trung tuyến là AG, BF, CE là trọng tâm của tam giác ABC.

Cách 2: Dựa vào tính chất về tỉ lệ các đoạn trên đường trung tuyến, ta xác định trọng tâm tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến như sau:

Bước 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm M của cạnh BC.

Bước 2: Nối đỉnh A với trung điểm M, sau đó lấy điểm S sao cho AS = $\frac{2}{3}$ AM. Theo tính chất trọng tâm tam giác thì điểm S chính là trọng tâm tam giác ABC.

V. Trọng tâm của các tam giác đặc biệt

1. Trọng tâm tam giác cân

Thông qua việc xác định tính chất trọng tâm là gì, chúng ta cũng biết được tam giác cân có những đặc điểm sau về trung điểm:

• Trọng tâm của tam giác cân là trung điểm nằm ở cạnh đối diện với vị trí đỉnh. Khi đó, vị trí từ trọng tâm tam giác đến từng đỉnh sẽ đều có khoảng cách bằng nhau.

• Tam giác cân có trục nằm đối diện các đường trung tuyến. Vì vậy mà trung điểm tam giác cũng chính là vị trí nằm giao nhau ở 3 đường trung tuyến. Ngoài ra, mỗi đoạn thẳng bắt đầu từ trọng tâm đến đỉnh của tam giác sẽ được gọi là đoạn trung tuyến.

• Trọng tâm tam giác cân cũng được hiểu là tâm đối xứng. Vì vậy mà khi bạn vẽ một đường từ trọng tâm đến đỉnh thì chúng sẽ phân tam giác thành hai hình giống nhau.

2. Trọng tâm tam giác vuông

Đối với tam giác vuông, trọng tâm của nó cũng có những tính chất cụ thể. Để hiểu rõ hơn về trọng tâm của tam giác vuông, các bạn hãy tìm hiểu thông qua những điểm sau:

• Trong tam giác vuông, trọng tâm được hiểu là tâm đối xứng của tam giác. Ngoài ra, nó cũng là trung điểm của cạnh đối diện với góc vuông. Ví dụ, nếu bạn vẽ một đường nối trọng tâm với góc vuông thì nó sẽ phân hai cạnh bên có kích thước bằng nhau.

• Tam giác vuông sở hữu góc vuông cùng với góc 45 độ nên trọng tâm của nó chính là trung điểm của cạnh có chứa góc vuông (hay còn gọi là cạnh huyền). Vì vậy mà trung điểm và trọng tâm của cạnh huyền sẽ là một điểm duy nhất.

3. Trọng tâm tam giác vuông cân

Có tam giác ABC vuông cân tại A và I là trọng tâm. AM là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này nên AM vuông góc với BC.

Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên:

AB = AC.

=> BP = CN và BN = AN = CP = AP.

4. Trọng tâm tam giác đều

Bên cạnh tam giác cân và tam giác vuông, trọng tâm của tam giác đều cũng sở hữu những tính chất quan trọng dưới đây:

• Trong tam giác đều, trọng tâm chính là vị trí giao nhau của 3 đường trung tuyến. Những đường trung tuyến này cũng chính là các đường được nối từ trọng tâm đến mỗi đỉnh của tam giác. Vì thế mà trung điểm tam giác đều sẽ khớp với trung điểm mỗi đỉnh tương ứng.

• Điểm trọng tâm của tam giác đều thực chất cũng chính là tâm đối xứng. Vì vậy, nếu chúng ta vẽ một đoạn thẳng bắt đầu từ trọng tâm đến một đỉnh bất kỳ thì nó cũng chia hai phần còn lại có kích thước bằng nhau.

• 3 cạnh và 3 góc trên tam giác đều cùng có độ dài, độ lớn tương tự nhau. Chính vì vậy, trọng tâm của tam giác đều còn được hiểu là điểm hiển thị tâm của đường tròn ngoại tuyến.

VI. Bài tập trọng tâm tam giác

Bài tập 1: CHo tam giác ABC vuông cân tại A với G là trọng tâm. BG cắt AC tạo M, CG cắt AB tại N. Chứng minh:

a. BM = CN

b. BN = AN = CM = AM

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông cân tại A với G là trọng tâm.

Theo tính chất của đường trung trực tam giác cân, AG là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này.

Suy ra, AG vuông góc với BC.

Bên cạnh đó còn có: AB = AC (vì tam giác cân tại A).

Suy ra, BM = CN và BN = AN = CM = AM.

Bài tập 2: Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI?

Hướng dẫn giải:

Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác).

Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm).

Vậy đọan AI có độ dài 6 cm.

Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A với G là trọng tâm. Chứng minh rằng hai tam giác AIB và tam giác AIC là tam giác cân.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A với G là trọng tâm. Vì AI là đường trung tuyến của một góc vuông nên ta có: AI = 1/2 BC = BI = CI.

Suy ra, tam giác AIB và tam giác AIC lần lượt cân tại I.

Bài tập 4: Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI

a) Chứng minh ∆DEI = ∆DFI

b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?

c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.

Hướng dẫn giải:

a) ∆DEI = ∆DFI có:

DI là cạnh chung

DE = DF ( ∆DEF cân)

IE = IF (DI là trung tuyến)

⇒ ∆DEI = ∆DFI (c.c.c)

b) Vì ΔDEI = ΔDFI

⇒ ∠ DIE = ∠ DIF

Mà ∠ BID + ∠ DIF = 180 độ (kề bù)

Nên ∠ DIE = ∠ DIF = 90 độ

c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm

∆DEI vuông tại I ⇒ DI² = DE² − EI² (định lí pytago)

⇒ DI = $\sqrt{144}$ = 12 cm.

Bài tập 5: Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Phương pháp giải:

+ Áp dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

+ Áp dụng nhận xét: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh bằng một nửa cạnh huyền

Gọi M là trung điểm của BC

Suy ra: AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên A M = 1/2BC

BC = $\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}$ = $\sqrt{3^2+4^2}$ = 5 cm

⇒ A M = $\frac{1}{2}$ x 5 = 2,5 cm

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$ AM = $\frac{2}{3}$ .2,5 = 1,7 cm.

Vậy AG = 1,7 cm.