Lý thuyết, cách xác định và bài tập các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

I. Tứ giác nội tiếp là gì?

Trong môn toán hình học lớp 9, tứ giác nội tiếp là một nội dung quan trọng mà các bạn học sinh cần nắm được. Dấu hiệu nhận biết hình tứ giác nội tiếp gồm:

• Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định tức là tồn tại điểm O sau cho OA = OB = OC = OD.

• Một hình tứ giác có hai góc đối tổng bằng 180 độ.

• Một hình tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp.

II. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Để chứng minh hình tứ giác nội tiếp có rất nhiều cách dựa trên tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Sau đây, chúng tôi sẽ chia sẻ những cách chứng minh tứ giác nội tiếp dễ hiểu nhất cho các bạn tham khảo:

1. Chứng minh bốn đỉnh cách đều một điểm

Nếu đề bài cho trước một đường tròn O, bán kính R thì bất cứ điểm nào trên đường tròn đều cách tâm một khoảng R. Do đó, dựa vào lý thuyết này để chứng minh tứ giác nội tiếp một cách nhanh chóng. Ví dụ cho một điểm I cố định và tứ giác ABCD, để chứng minh đây là hình tứ giác nội tiếp thì các bạn hãy chứng minh IA = IB = IC = ID. Điểm I chính là tâm của đường tròn và có bán kính là IA.

2. Chứng minh tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 độ

Ngoài cách chứng minh hình tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh cách đều một điểm, các bạn còn có thể chứng minh hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 độ. Chẳng hạn như cho hình tứ giác ABCD, các bạn hãy chứng minh góc A + C = 180 độ hoặc góc B + D = 180 độ. Chỉ cần chứng minh được một cặp góc đối diện có tổng bằng 180 độ theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp thì đây chính là hình tứ giác nội tiếp.

Chứng minh góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối

Cách chứng minh này khá đơn giản, các bạn cần chứng minh góc ngoài tại đỉnh A bằng góc trong của đỉnh C thì hình tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.

3. Chứng minh tứ giác đặc biệt

Đối với dạng bài chứng minh tứ giác nội tiếp, các bạn có thể chứng minh qua dạng tứ giác đặc biệt như hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi,… Từ đây, các bạn sẽ suy ra tứ giác trong đề bài là tứ giác nội tiếp.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (hình 1) . Chọn khẳng định sai?

Lời giải:

(góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó )

Phương án A, B, C đúng

Chọn đáp án D

Câu 2: Tứ giác ở hình nào dưới đây là tứ giác nội tiếp?

A. Hình 2

B. Hình 3

C. Hình 4

D. Hình 5

Lời giải:

Hình 4 đúng vì tứ giác này có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn

Chọn đáp án C

Câu 3: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF.Bx của nửa kia đường tròn (O) ( với F là tiếp điểm ). Tia AF cắt tia Bx của nửa đường tròn tại D. Khi đó tứ giác OBDF là :

A. Hình thang

B. Tứ giác nội tiếp

C. Hình thang cân

D. Hình bình hành

Lời giải:

Ta có:

Nên nội tiếp được trong một đường tròn

Chọn đáp án B

Câu 4: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M và

A. 110°

B. 30°

C. 70°

D. 55°

Lời giải:

Tứ giác ABCD nội tiếp nên có :

Chọn đáp án C

Câu 5: Cho tam giác ABC có 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tứ giác nào sau đây là tứ giác nội tiếp

A. AHBC

B. BCDE

C. BCDA

D. Không có tứ giác nội tiếp

Lời giải:

Ta có: BD và CE là đường cao của tam giác ABC nên

Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ BC, hai điểm D và E cùng nhìn đoạn thẳng BC dưới 1 góc vuông nên 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc 1 đường tròn hay tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp .

Chọn đáp án B.

IV. Bài tập tự luyện

Bài tập 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). M là điểm chính giữa cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và F. Chứng minh tứ giác PEDC là tứ giác nội tiếp.

Bài tập 2. Cho tam gác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp.

Bài tập 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.

Bài tập 4. Từ điểm S nằm ở ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA; SB với A, B là tiếp điểm và cát tuyến SCD với đường tròn. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh 5 điểm A, I, O, B, S cùng thuộc một đường tròn.

Bài tập 5. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK vuông góc với AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:

a) Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.

b) AH.AB=AD²

c) Tam giác ACF là tam giác cân.

Bài tập 6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ đường kính AC của đường tròn (O) cắt (O’) tại F. Kẻ đường kính AE của (O’) cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh:

a) Tứ giác GFEC nội tiếp;

b) GC, FE, AB đồng quy.

Bài tập 7. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kỳ (H không trùng O, B). Trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường (O) ở C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh các tứ giác MCID và MCHB là tứ giác nội tiếp.