Giao điểm là gì? Cách tìm giao điểm của một đường thẳng, mặt phẳng

Giao điểm là gì? Cách tìm giao điểm của một đường thẳng, mặt phẳng

1. Giao điểm là gì?

Hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng chỉ có một điểm chung và điểm chung này được gọi là giao điểm của hai đường thẳng đó.

Nói một cách khác: Giao điểm của hai đường thẳng là điểm chung duy nhất của hai đường thẳng đó.

2. Cách tìm giao điểm của một đường thẳng, mặt phẳng

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), có hai cách làm như sau:

* Cách 1:

+ Những bài đơn giản, có sẵn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và một đường thẳng a nào đó thuộc mặt phẳng (P)

+ Trong mp( Q), 2 đường thẳng a và d cắt nhau tai điểm A. Khi đó điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mp(P)

* Cách 2: Chọn mặt phẳng phụ:

+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d, sao cho dễ dàng tìm giao tuyến của mp (Q) với mp (P)

+ Tìm giao tuyến của mp(P) và (Q) - gọi là đường thẳng d.

+ Tìm giao điểm của đường thẳng a và đường thẳng d - gọi là điểm A

Khi đó: điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mp (P)

3. Các dạng toán về giao điểm

– Dạng 1: Bài toán tìm giao điểm của 2 đường thẳng

Phương pháp giải: Muốn tìm giao điểm của hai đường thẳng, ta xác định một điểm chung duy nhất của hai đường thẳng đó, khi đó điểm chung tìm được chính là giao điểm mà ta cần tìm.

– Dạng 2: Bài tập tính số giao điểm

Cho bài toán sau: Cho n (n > 1) đường thẳng, biết hai đường thẳng bất kỳ nào trong n đường thẳng đó luôn cắt nhau tại một điểm và không có ba đường thẳng nào cùng có một điểm chung. Hãy tính số giao điểm của chúng.

Phương pháp giải:

+ Ta chọn ra 1 đường thẳng trong n đường thẳng đã cho, khi đó đường thẳng này sẽ cắt n – 1 đường thẳng còn lại và số giao điểm được tạo ra là: n – 1 (giao điểm);

+ Vì có n đường thẳng nên số giao điểm được tạo ra là: n . (n – 1) (giao điểm);

+ Số giao điểm bị lặp lại 2 lần nên số giao điểm thực tế là: n . (n – 1) : 2 (giao điểm).

Đáp số: Số giao điểm cần tính là n . (n – 1) : 2 giao điểm.

4. Giao điểm trong tam giác

- Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua 1 điểm. Điểm này cách các đỉnh của tam giác một đoạn bằng 2/3 độ dài của chính các đường trung tuyến đi qua đỉnh đó. Giao điểm này được gọi là trọng tâm.

- Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.

- Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

- Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này gọi là trực tâm của tam giác

5. Bài tập về giao điểm của đường thẳng

Bài tập 1: Cho ba điểm S, Q, T không thẳng hàng. Em hãy vẽ các đường thẳng SQ, ST và QT và cho biết ba điểm S, Q, T lần lượt là giao điểm của cặp đường thẳng nào?

Hướng dẫn giải:

+ Điểm S là giao điểm của đường thẳng SQ và đường thẳng ST;

+ Điểm Q là giao điểm của đường thẳng SQ và đường thẳng QT;

+ Điểm T là giao điểm của đường thẳng ST và đường thẳng QT.

Bài tập 2: Cho 218 đường thẳng, biết hai đường thẳng bất kỳ nào trong 218 đường thẳng đó luôn cắt nhau tại một điểm và không có ba đường thẳng nào cùng có một điểm chung. Hãy tính số giao điểm của chúng.

Hướng dẫn giải:

– Ta chọn ra 1 đường thẳng trong 218 đường thẳng đã cho, khi đó đường thẳng này sẽ cắt 217 đường thẳng còn lại và số giao điểm được tạo ra là: 217 (giao điểm);

– Vì có 218 đường thẳng nên số giao điểm được tạo ra là: 218 . 217 = 47306 (giao điểm);

– Số giao điểm bị lặp lại 2 lần nên số giao điểm thực tế là: 47306 : 2 = 23653 (giao điểm).

Đáp số: Số giao điểm cần tính là 23653 giao điểm.

Bài tập 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD).

A. Điểm H, trong đó E = AB ∩ CD, H = SA ∩ EM

B. Điểm N, trong đó E = AB ∩ CD, N = SA ∩ EM

C. Điểm F, trong đó E = AB ∩ CD, F = SA ∩ EM

D. Điểm T, trong đó E = AB ∩ CD, T = SA ∩ EM

Lời giải:

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = AB ∩ CD

Trong (SAB) gọi N là giao điểm của ME và SB.

Ta có: N ∈ EM ⊂ (MCD) ⇒ N ∈ (MCD) (1)

Lại có: N ∈ SB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: N = SB ∩ (MCD)

Chọn B

Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của đường thẳng MC và mặt phẳng (SBD).

A. Điểm H, trong đó I = AC ∩ BD, H = MA ∩ SI

B. Điểm F, trong đó I = AC ∩ BD, F = MA ∩ SI

C. Điểm K, trong đó I = AC ∩ BD, K = MA ∩ SI

D. Điểm V, trong đó I = AC ∩ BD, V = MA ∩ SI

Lời giải:

Trong mp(ABCD), gọi I = AC ∩ BD

Trong mp(SAC) gọi k = MC ∩ SI

Ta có K ∈ SI ⊂ (SBD) và K ∈ MC

nên K = MC ∩ (SBD)

Chọn C

Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N là trên cạnh BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).

A. Điểm K, trong đó K = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD

B. Điểm H, trong đó H = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD

C. Điểm V, trong đó V = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD

D. Điểm P, trong đó P = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD

Lời giải:

+ Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD

+ Trong mp (SAC) gọi I = SO ∩ AM và K = IJ ∩ SD

Ta có I ∈ AM ⊂ (AMN), J ∈ AN ⊂ (AMN) ⇒ IJ ⊂ (AMN)

Do đó K ∈ IJ ⊂ (AMN) ⇒ K ∈ (AMN)

Vậy K = SD ∩ (AMN)

Chọn A