Cách xác định các tập hợp và bài tập (có đáp án 2026)

Cách xác định các tập hợp và bài tập có đáp án

I. Lý thuyết

Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.

Giả sử đã cho tập hợp A.

Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc là a thuộc A).

Để chỉ a không phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc là P không thuộc A).

II. Cách xác định tập hợp

1: Với tập hợp A, ta có 2 cách:

Cách 1: liệt kê các phần tử của A: A={a1; a2; a3;..}

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của A

2: Tập hợp con

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con của B, kí hiệu là A ⊂ B.

A ⊂ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B.

A ⊄ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∉ B.

Tính chất:

1) A ⊂ A với mọi tập A.

2) Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C.

3) ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:

a) A={$x\in \mathrm{ℝ}$|$\left(2x-x^2\right)\left(2x^2-3x-2\right)=0$}.

b) B={n ∈ $\mathrm{\mathbb{N}}$|3 < $n^2$ < 30}.

Lời giải:

a) Ta có:

$\left(2x-x^2\right)\left(2x^2-3x-2\right)=0$

$\iff$

b) 3 < $n^2$ < 30 ⇒ $\sqrt{3}$ < |n| < $\sqrt{30}$

Do $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ nên n ∈ {2;3;4;5}

⇒ B = {2;3;4;5}.

Bài 2: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó:

a) A = {2; 3; 5; 7}

b) B = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}

c) C = {-5; 0; 5; 10; 15}.

Lời giải:

a) A là tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 10.

b) B là tập hơp các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 3.

B={x ∈ $\mathrm{\mathbb{Z}}$||x| ≤ 3}.

c) C là tập hợp các số nguyên n chia hết cho 5, không nhỏ hơn -5 và không lớn hơn 15.

C={n ∈ $\mathrm{\mathbb{Z}}$|-5 ≤ n ≤ 15; n ⋮ 5}.

Bài 3: Cho tập hợp A có 3 phần tử. Hãy chỉ ra số tập con của tập hợp A.

Lời giải:

Giả sử tập hợp A={a;b;c}. Các tập hợp con của A là:

∅ ,{a},{b},{c},{a;b},{b;c},{c;a},{a;b;c}

Tập A có 8 phần tử

Chú ý: Tổng quát, nếu tập A có n phần tử thì số tập con của tập A là 22 phần tử.

Bài 4: Cho hai tập hợp M={8k + 5 |k ∈ $\mathrm{\mathbb{Z}}$}, N={ 4l + 1 | l ∈ $\mathrm{\mathbb{Z}}$}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Rõ ràng ta có: M ≠ ∅ ; N ≠ ∅

Giả sử x là một phần tử bất kì của tập M, ta có x = 8k + 5 (k ∈ $\mathrm{\mathbb{Z}}$)

Khi đó, ta có thể viết x = 8k + 5 = 4(2k + 1) + 1 = 4l + 1 với l = 2k + 1 ∈ $\mathrm{\mathbb{Z}}$ do k ∈ $\mathrm{\mathbb{Z}}$. Suy ra x ∈ $\mathrm{\mathbb{N}}$.

Vậy ∀x ∈ $\mathrm{\mathbb{Z}}$ ⇒ x ∈ $\mathrm{\mathbb{N}}$ hay M ⊂ N.

Mặt khác 1 ∈ $\mathrm{\mathbb{N}}$ nhưng 1 ∉ M nên N ⊄ M. Từ đó, suy ra M ≠ N

Vậy M ⊂ N.

IV. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho tập hợp A = {x + 1 | x ∈ N, x ≤ 5}. Liệt kê các phần tử của tập hợp A :

A. A = {1; 2; 3; 4; 5}.

B. A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.

C. A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

D. A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Lời giải:

Chọn D.

Vì x ∈ N, x ≤ 5 nên x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} ⇒ (x + 1) ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Vậy A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Câu 2: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X = {x ∈ R | x2 + x + 1 = 0}:

A. X = 0.

B. X = {0}.

C. X = ∅ .

D. X = {∅} .

Lời giải:

Chọn C.

Phương trình x² + x + 1 = 0 vô nghiệm nên X ∈ ∅ .

Câu 3: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?

A. A = {x ∈ Z: |x| < 1}.

B. B = {x ∈ Z: 6x2 - 7x + 1 = 0} .

C. C = {x ∈ Q: x2 - 4x + 2 = 0}.

D. D = {x ∈ R: x2 - 4x + 3 = 0}

Lời giải:

Chọn C.

Ta có: x² - 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ± √2 ( không thỏa mãn x ∈ Q). Vậy tập hợp C là tập rỗng.

- Đáp án A: x ∈ Z, |x| < 1 ⇔ -1 < x < 1 ⇒ x = 0. Vậy tập hợp A không là tập rỗng.

- Đáp án B: Giải phương trình: 6x² - 7x + 1 = 0 ⇔ . Do x ∈ Z nên x = 1. Vậy tập hợp B không là tập rỗng.

- Đáp án D: Giải phương trình: x² - 4x + 3 = 0 ⇔ (thỏa mãn x ∈ R). Vậy tập hợp D không là tập rỗng.

Câu 4: Cho tập hợp M = {(x; y)} | x, y ∈ R, x² + y² ≤ 0. Khi đó tập hợp M có bao nhiêu phần tử?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn

Chọn B.

Vì nên x² + y² ≤ 0 ⇔ X = y = 0 .

Khi đó tập hợp M có 1 phần tử duy nhất là {(0;0)} .

Câu 5: Cho các mệnh đề sau:

(I): {2; 1; 3} = {1; 2;3}

(II): ∅ ⊂ ∅

(III): ∅ ∈ {∅}

Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề trên:

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (I) và (II) đúng.

C. Chỉ (I) và (III) đúng.

D. Cả (I), (II); (III) đều đúng.

Lời giải:

Chọn D.

(I) đúng do hai tập hợp đã cho có tất cả các phần tử giống nhau.

(II) đúng do mọi tập hợp đều là tập con của chính nó.

(III) đúng vì phần tử ∅ thuộc tập hợp {∅}.

Câu 6: Cho các tập hợp E, F, G, K thỏa mãn: E ⊂ F, F ⊂ G và G ⊂ K . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. G ⊂ F .

B. K ⊂ G .

C. E = F = G.

D. E ⊂ K .

Lời giải:

Chọn D.

Theo tính chất của tập hợp con, ta thấy:

Do E ⊂ F và F ⊂ G nên E ⊂ G .

Do E ⊂ G và G ⊂ K (theo đề bài) nên E ⊂ K .

Câu 7: Cho tập hợp A = {a; b; c; d}. Tập A có mấy tập con?

A. 16.

B. 15.

C. 12.

D. 10.

Lời giải:

Chọn A.

Nếu tập hợp có n phần tử thì nó có 2ⁿ tập hợp con.

Vậy số tập con của tập A là: 2⁴ = 16 .

Câu 8: Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con?

A. {x; y} .

B. {x}.

C. {∅; x} .

D. {∅; x; y} .

Lời giải:

Chọn B.

Xét đáp án B: {x} có 2¹ = 2 tập con là và ∅ .

Xét đáp án A: {x; y} có 2² = 4 tập con.

Xét đáp án C: {∅; x} có 2² = 4 tập con.

Xét đáp án D: {∅; x; y} có 2³ = 8 tập con.

Câu 9: Số phần tử của tập hợp A = {k2 + 1| k ∈ Z, |k| ≤ 2} là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn:

Chọn C.

A = {k2 + 1| k ∈ Z, |k| ≤ 2} .

Ta có |k| ≤ 2 ⇔ -2 ≤ k ≤ 2. Mà k ∈ Z nên k ∈ {-2; -1; 0; 1; 2}

Suy ra (k² + 1) ∈ {5; 2; 1; 2; 5} . Vậy A = {1; 2; 5}. Số phần tử của tập A là 3.

Câu 10: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4}; B = {0; 2; 4}; C = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Quan hệ nào sau đây là đúng?

A. B ⊂ A ⊂ C .

B. B ⊂ A = C .

C. .

D. A ∪ B = C .

Lời giải:

Chọn C. Ta thấy mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp C và mọi phần tử của tập hợp B đều thuộc tập hợp C. Vậy A và B đều là tập hợp con của tập hợp C.