Lý thuyết, cách xác định và bài tập bán kính đường tròn

Bán kính đường tròn

1. Công thức bán kính đường tròn:

Cho tam giác ABC. Ta kí hiệu:

- BC = a, CA = b, AB = c;

- R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

- r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

- p là nửa chu vi tam giác.

- S là diện tích tam giác.

Khi đó:

- Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là:

$r=\frac{S}{p}$.

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là:

$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}=\frac{abc}{4S}$.

2. Ví dụ minh họa về bán kính đường tròn:

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có a = 2$\sqrt{5}$, b = 5 và $\hat{C}=30°$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

c² = a² + b² – 2a.b.cosC = 20 + 25 – $2.2\sqrt{5}\mathrm{.5.}\frac{\sqrt{3}}{2}$≈ 6,27

Suy ra c ≈ 2,5.

Áp dụng định lí sin, ta suy ra: $R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{2,5}{2.\sin 30°}=\frac{2,5}{2.\frac{1}{2}}=2,5$.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = 2,5.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có các cạnh a = 300, b = 270, c = 180. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có nửa chu vi tam giác ABC là: p = $\frac{1}{2}$(300+27+180) = 375.

Áp dụng công thức Heron, ta có:

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{375.\left(375-300\right).\left(375-270\right).\left(375-180\right)}=23997,07$.

+) Ta lại có: $S=\frac{abc}{4R}$, suy ra $R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{300.270.180}}{4.23997,07}\approx 151,9$.

và S = pr ⇒ $r=\frac{S}{p}=\frac{23997,07}{375}\approx 64$.

Ví dụ 3. Tam giác MNE có ME = 10, $\hat{M}=35°,\hat{E}=85°$. Gọi $R=\frac{a\sqrt{3}}{b}$là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE. Tính S = 2a + b.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: $\hat{N}=180°-\left(\hat{M}+\hat{E}\right)$ = 180° – (35° + 85°) = 60° (áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác MNE).

+) Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{NE}{\sin M}=\frac{ME}{\sin N}=\frac{MN}{\sin E}=2R$.

Suy ra $R=\frac{ME}{2\sin N}=\frac{10}{2.\sin 60°}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Suy ra a = 10, b = 3.

Vậy S = 2.10 + 3 = 23.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Các tính bán kính hình tròn - Toán lớp 6