Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông và cách giải – Toán lớp 7

I. LÝ THUYẾT:

1. Các trường hợp bằng nhau đã biết của tam giác vuông:

- Hai cạnh góc vuông (hay là trường hợp cạnh - góc - cạnh).

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

∆ABC vuông tại A và ∆A’B’C’ vuông tại A’ có AB = A’B’; AC = A’C’

Khi đó: ∆ABC = ∆A’B’C’

- Cạnh góc vuông và góc nhọn kề với cạnh đó (hay là trường hợp góc - cạnh - góc).

Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

∆ABC vuông tại A và ∆A’B’C’ vuông tại A’ có AC = A’C’; $\widehat{C}=\widehat{C\text{'}}$

Khi đó: ∆ABC = ∆A’B’C’ 

- Cạnh huyền và góc nhọn.

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (góc - cạnh - góc)

∆ABC vuông tại A và ∆A’B’C’ vuông tại A’ có BC = B’C’; $\widehat{C}=\widehat{C\text{'}}$

Khi đó: ∆ABC = ∆A’B’C’

2. Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh góc vuông:

Định lí: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu hai tam giác vuông ABC và DEF $(\widehat{A}=\widehat{D}={90}^o)$ có BC = EF, AC = DF thì $\Delta \text{\hspace{0.17em}ABC}=\Delta DEF$.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 5.1: Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau.

1. Phương pháp giải:

- Xét hai tam giác vuông.

- Kiểm tra điều kiện bằng nhau của hai tam giác: cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc, cạnh huyền - góc nhọn hoặc cạnh huyền - cạnh góc vuông.

- Kết luận hai tam giác bằng nhau.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho $\Delta ABC$, BE và CD là đường cao của $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

$\Delta BCD=\Delta CBE$, biết BD = EC.

Giải:

Xét $\Delta BCD$vuông tại D và $\Delta CBE$ vuông tại E có:

BD = CE (gt)

Cạnh BC chung.

Nên $\Delta BCD=\Delta CBE$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông) (đpcm)

Dạng 5.2: Vận dụng hai tam giác bằng nhau để chứng minh đoạn thẳng, góc bằng nhau.

1. Phương pháp giải:

- Chọn hai tam giác vuông có cạnh (góc) và hai đoạn (góc) cần chứng minh bằng nhau.

- Tìm thêm hai điều kiện bằng nhau, trong đó có một điều kiện về cạnh để kết luận hai tam giác bằng nhau.

- Suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng nhau.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2: Các tam giác ABC cân tại A ($\widehat{A}<{90}^o$). Vẽ  $BH\perp AC$ ($H\in AC$), $CK\perp AB$ ($K\in AB$).

a) Chứng minh rằng AH = AK.

b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng tia AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

Giải:

a) Xét $\Delta ABH$ vuông tại H và $\Delta ACK$ vuông tại K có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân tại A)

$\widehat{A}$ chung.

Nên ∆ABH = ∆ACK (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow$ AH = AK (hai cạnh tương ứng)

b) Xét $\Delta AIH$ vuông tại H và $\Delta AIK$ vuông tại K có:

AK = AH (cmt)

AI cạnh chung

Nên ∆AIK = ∆AIH (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{IAK}=\widehat{IAH}$ (hai góc tương ứng)

 Vậy AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

Dạng 5.3: Bổ sung thêm điều kiện để hai tam giác vuông bằng nhau.

1. Phương pháp giải:

- Xét xem hai tam giác vuông đã có các yếu tố nào bằng nhau.

- Xét xem cần bổ sung thêm điều kiện nào để hai tam giác bằng nhau (dựa vào các trường hợp bằng nhau của hai tam giác).

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Các tam giác ABC và MNP có $\widehat{A}=\widehat{M}={90}^o,\widehat{B}=\widehat{N}$. Hãy bổ sung thêm một điều kiện bằng nhau để ∆ABC = ∆MNP.

Giải:

* Trường hợp 1: ΔABC = ΔMNP theo trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn kề.

Xét hai tam giác vuông ABC và MNP có:

+) $\widehat{B}=\widehat{N}$ (giả thiết) 

Bổ sung AB = MN thì ΔABC = ΔMNP (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).

* Trường hợp 2: ΔABC = ΔMNP theo trường hợp hai cạnh huyền – góc nhọn.

Xét hai tam giác vuông ABC và MNP có:

+) $\widehat{B}=\widehat{N}$ (giả thiết)

Bổ sung BC = NP thì ΔABC = ΔMNP (cạnh huyền - góc nhọn).

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng điền “Đ”, khẳng định nào là sai điền “S” vào ô trống dưới đây:

Các tam giác ABC và DEF có $\widehat{A}=\widehat{D}={90}^o$.

a) Nếu BC = EF, AC = DE thì hai tam giác này bằng nhau.

b) Nếu BC = EF, $\widehat{B}=\widehat{F}$ thì hai tam giác này bằng nhau.

c) Nếu AC = DE và $\widehat{B}=\widehat{E}$ thì hai tam giác này bằng nhau.

Bài 2: Có mấy cặp tam giác vuông bằng nhau trong hình vẽ sau đây:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 3: Nêu tên cặp tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn trong hình vẽ sau:

Bài 4: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt vuông tại A và A’, biết AB = A’B’.  Để $\Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$(cạnh góc vuông – góc nhọn kề) thì cần thêm điều kiện gì?

Bài 5: Cho hình vẽ:

Biết $\Delta ABD=\Delta DCA$. Chứng minh $\Delta ABE=\Delta DCF.$

Bài 6: Cho tam giác ABC. Đường phân giác AD $\left(D\in BC\right)$. Từ D kẻ $DE\perp AB,$$DF\perp AC$ $\left(E\in AB,F\in AC\right)$. Chứng minh rằng:

$\text{a)\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\Delta ADE=\Delta ADF.$

b) Để BE = CF thì tam giác ABC cần thêm điều kiện gì ?

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H $\in$BC). Chứng minh rằng:

a) HB = HC

b) AH là tia phân giác của góc BAC.

Bài 8: Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy điểm A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy sao cho OA = OB. Kẻ đường vuông góc với Ox tại A, đường vuông góc với Oy tại B, chúng cắt nhau tại C.

a) Chứng minh: OC là tia phân giác của góc xOy.

b) Gọi I là điểm bất kì thuộc OC. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ I đến Ox, Oy. Chứng minh: IM = IN.

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại  A, trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho $BD=CE<\frac{BC}{2}$. Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với BC cắt AB tại M, đường thẳng kẻ từ E vuông góc với BC  cắt AC tại N. Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) EM = DN

c) Tam giác ADE cân.

Bài 10: Cho góc nhọn xOy và K là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ KA vuông góc với Ox (A$\in$Ox), KB vuông góc với Oy ( B$\in$Oy)

a) Chứng minh: KA = KB.

b) Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?

c) Đường thẳng BK cắt Ox tại D, đường thẳng AK cắt Oy tại E.

Chứng minh: KD = KE.

Hướng dẫn giải:

Bài 1:

a), b) Đúng                    

c) Sai.

Bài 2: Đáp án C.

Bài 3: $\Delta ACB=\Delta CAD$, $\Delta DBC=\Delta BDA$

Bài 4: $\widehat{B}=\widehat{B\text{'}}.$

Bài 5: $\Delta ABE=\Delta DCF$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Bài 6:

a) $\Delta ADE=\Delta ADF$ (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Tam giác ABC cân tại A.

Bài 7:

a)  

$\Delta ABH=\Delta ACH$(cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow HB=HC$

b) Từ câu a ta có: $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ 

Từ đó suy ra đpcm.

Bài 8:

a) $\Delta OAC=\Delta OBC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{BOC}$

nên OC là tia phân giác góc xOy.

b) $\Delta OMI=\Delta ONI$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow IM=IN$

Bài 9:

a) $\Delta MDB=\Delta NEC$(cạnh góc vuông - góc nhọn) suy ra MD = NE

b) $\Delta MDE=\Delta NED$(hai cạnh góc vuông) suy ra ME = ND

$\text{c)\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\Delta ABD=\Delta ACE(c.g.c)$ suy ra AD = AE. Vậy $\Delta ADE$ cân tại A.

Bài 10:

a) $\Delta OKA=\Delta OKB$ (cạnh huyền – góc nhọn) nên KA = KB.

b) Từ câu a suy ra OA = OB  nên $\Delta OAB$ cân tại O.

c) $\Delta KAD=\Delta KBE$(cạnh góc vuông - góc nhọn kề) vì $\widehat{AKD}=\widehat{BKE}$ và KA = KB.

Suy ra KD = KE.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Tổng ba góc của một tam giác và cách giải các dạng bài tập