Liên hệ giữa đường thẳng vuông góc và đường thẳng song song và cách giải bài tập – Toán lớp 7

I. LÝ THUYẾT:

1. Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của ba đường thẳng:

- Nếu hai đường thẳng (phân biệt) cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

$\left.\begin{array}{l}a\perp c\\ b\perp c\end{array}\right\}\Rightarrow a\parallel b$

- Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường kia.

$\left.\begin{array}{l}a\parallel b\\ a\perp c\end{array}\right\}\Rightarrow b\perp c$

2. Ba đường thẳng song song:

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

$\left.\begin{array}{l}a\parallel c\\ b\parallel c\end{array}\right\}\Rightarrow a\parallel b$

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 6.1: Nhận biết hai đường thẳng song song bằng cách chứng minh chúng cùng vuông góc hoặc cùng song song với một đường thẳng thứ ba.

1. Phương pháp giải: Xét tính vuông góc và tính song song của hai đường thẳng với một đường thẳng thứ ba.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hình vẽ sau:

Chứng tỏ rằng: AB // CD.

Giải:

Ta có $\widehat{FEB}={20}^o+{50}^o={70}^o$

Vì $\widehat{ABE}=\widehat{FEB}(={70}^o)$  mà $\widehat{ABE}$  và $\widehat{FEB}$  so le trong

Nên AB // EF                  (1)

Mặt khác, $\widehat{DCE}+\widehat{FEC}={130}^0+{50}^0={180}^0$

Mà $\widehat{DCE}$  và $\widehat{FEC}$  là hai góc trong cùng phía nên CD // EF        (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB // CD (theo tính chất ba đường thẳng song song).

Dạng 6.2: Nhận biết hai đường thẳng vuông góc.

1. Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2: Cho hình vẽ. Chứng tỏ rằng $DC\perp BC.$

Giải:

Ta có $\widehat{DAB}+\widehat{ABC}={110}^0+{70}^0={180}^0$.

Mà $\widehat{DAB}$ và $\widehat{ABC}$ là hai góc trong cùng phía.

Do đó AD // BC              (1)

Mặt khác,  $DC\perp AD.$             (2)

Từ (1) và (2) suy ra $DC\perp BC$ (Tính chất từ vuông góc đến song song).

Dạng 6.3: Tính số đo một góc bằng cách vẽ thêm một đường thẳng mới song song với một đường thẳng đã cho.

1. Phương pháp giải:

Bằng cách vẽ thêm một đường thẳng mới song song với một đường thẳng đã cho ta tính được số đo của nhiều góc trong hình vẽ.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Cho AB // ED. Số đo góc $\widehat{ACD}$ là:

  

Giải:

Qua C kẻ tia Cx // AB mà AB // ED (đề bài cho)

Nên Cx // AB // ED (tính chất ba đường thẳng song song).

Vì  Cx // ED mà $\widehat{EDC}$ và $\widehat{DCx}$ là hai góc trong cùng phía.

Nên $\widehat{EDC}+\widehat{DCx}={180}^o$.

$\Rightarrow \widehat{DCx}={180}^o-\widehat{EDC}={180}^o-{120}^o={60}^o$.

Vì  Cx // AB mà $\widehat{BAC}$ và $\widehat{ACx}$ là hai góc trong cùng phía.

Nên $\widehat{BAC}+\widehat{ACx}={180}^o$.

$\Rightarrow \widehat{ACx}={180}^o-\widehat{BAC}={180}^o-{140}^o={40}^o$.

Từ đó, $\widehat{ACD}=\widehat{ACx}+\widehat{DCx}=100°$.

Vậy $\widehat{ACD}=100°.$

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Trong các câu sau, câu nào sai:

Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì:

A. Hai góc đồng vị bằng nhau.

B. Hai góc so le ngoài bằng nhau.

C. Hai góc trong cùng phía phụ nhau.

D. Hai góc ngoài cùng phía bù nhau.

Bài 2: Xem hình vẽ, điền vào chỗ trống:

a) Nếu a // c và a // b thì..................................

b) Nếu $a\perp d$ và $b\perp d$ thì...............................

c) Nếu $a\perp d$ và a // b thì.................................

Bài 3: Các quan hệ từ vuông góc đến song song liên quan đến bao nhiêu đường thẳng?

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Bài 4: Giá trị góc tại dấu hỏi chấm trong hình là:

A. 100^o

B. 110^o

C. 120^o

D. 130^o

Bài 5: Cho hình vẽ bên:

Biết Ax // Cy, Bz // Ax và Bz là phân giác của $\widehat{ABC}$, $\widehat{xAB}=\alpha$. Tính số đo góc $\widehat{BCy}$ theo $\alpha$.

Bài 6: Cho hình vẽ sau, biết a // b, $\widehat{DAB}={90}^o;\widehat{BCD}={130}^o$.

Tính x và y.

Bài 7: Cho tam giác vuông ABC. Kẻ $AH\perp BC(H\in BC)$. Kẻ $HE\perp AC(E\in AC).$

a) Chứng minh AB // HE.

b) Cho $\widehat{B}={60}^o$. Tính $\widehat{AHE},\widehat{BAH}=?$

Bài 8: Cho hình vẽ:

Biết b // c và ${\widehat{N}}_1-{\widehat{M}}_2={80}^o$. Tính số đo góc ${\widehat{M}}_1;{\widehat{N}}_2$.

Bài 9: Tam giác ABC có tia phân giác của $\widehat{B}$ cắt AC ở D. Qua A kẻ đường thẳng song song với BD, đường thẳng này cắt đường thẳng BC ở E.

Chứng tỏ rằng: $\widehat{BAE}=\widehat{BEA}$

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Đáp án: C

Bài 2:

a) b // c

b) a // b

c) $b\perp d$

Bài 3: Đáp án: D

Bài 4: Đáp án : D

Bài 5:

+ Chứng minh Bz // Cy

+ $\widehat{BCy}={180}^o-\alpha$

Bài 6: Ta có a // b và $a\perp AB$ suy ra  $AB\perp b$

Do đó x = 90^o

Ta có a // b nên $\widehat{BCD},\widehat{CDA}$ bù nhau. Suy ra y = 50^o

Bài 7:

a) AB // HE vì cùng vuông góc với AC

b) $\widehat{AHE}={30}^o,\widehat{BAH}={30}^o$

Bài 8:

Ta có b // c và  $d\perp c$ nên  $d\perp b$

Ta lại có  $d\perp a,d\perp b\Rightarrow a//b$

a // b nên  ${\widehat{M}}_2+{\widehat{N}}_1={180}^0$

Mà ${\widehat{N}}_1-{\widehat{M}}_2={80}^o$

Suy ra ${\widehat{N}}_1={130}^o;{\widehat{M}}_2={50}^o$

Do đó ${\widehat{M}}_1={130}^o;{\widehat{N}}_2={50}^o$

Bài 9:

Có BD là phân giác $\widehat{ABC}$ nên  ${\widehat{B}}_1={\widehat{B}}_2$

BD // AE nên ${\widehat{A}}_1={\widehat{B}}_1$ (so le trong) và $\widehat{E}={\widehat{B}}_2$

Suy ra $\widehat{BAE}=\widehat{BEA}.$

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 có đáp án và lời giải chi tiết khác: