Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông đầy đủ, chi tiết hay nhất - Toán lớp 7

I. Lý thuyết

- Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Xét hình vẽ

Tam giác ABC vuông tại A và A’B’C’ vuông tại A’

$\left.\begin{array}{l}AB=A\text{'}B\text{'}\\ AC=A\text{'}C\text{'}\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$(c – g – c)

- Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Xét hình vẽ: Tam giác ABC vuông tại A và A’B’C’ vuông tại A’

 $\left.\begin{array}{l}AB=A\text{'}B\text{'}\\ \widehat{ABC}=\widehat{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ (g – c – g)

- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Xét hình vẽ: Tam giác ABC vuông tại A và tam giác A’B’C' vuông tại A’

$\left.\begin{array}{l}BC=B\text{'}C\text{'}\\ \widehat{ABC}=\widehat{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$(cạnh huyền – góc nhọn).

- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Xét tam giác ABC vuông tại A và A’B’C’ vuông tại A’

$\left.\begin{array}{l}BC=B\text{'}C\text{'}\\ AC=A\text{'}C\text{'}\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

II. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh $\Delta ABH=\Delta ACH$ .

Lời giải:

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AB=AC\\ \widehat{ABH}=\widehat{ACH}\end{array}\right.$ (tính chất)

Vì AH vuông góc với BC tại H nên $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$  có:

$\left.\begin{array}{l}AB=AC\\ \widehat{ABH}=\widehat{ACH}\\ \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta AHB=\Delta AHC$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A $\left(\widehat{A}<90°\right)$ . Kẻ BH vuông góc với AC, CK vuông góc với AB (H thuộc AC; K thuộc AB).

a) Chứng minh AH = AK.

b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh AI là tia phân gác của góc A.

Lời giải:

a) Vì ABC là tam giác cân nên AB = AC

Vì BH là đường cao nên BH vuông góc với AC $\Rightarrow \widehat{\text{AHB}}=90°$

Vì CK là đường cao nên KC vuông góc với AB $\Rightarrow \widehat{\text{AKC}}=90°$

Xét tam giác AHB và tam giác AKC có:

$\left.\begin{array}{l}AB=AC\\ \widehat{BAC}\text{ chung}\\ \widehat{\text{AHB}}\text{=}\widehat{\text{AKC}}\text{=90}°\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta AHB=\Delta AKC$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow AH=AK$ (hai cạnh tương ứng)

b) Xét hai tam giác AHI và AKI có

AH = AK (chứng minh trên)

$\widehat{\text{AHI}}\text{=}\widehat{\text{AKI}}\text{=90}°$

AI chung

Do đó $\Delta AHI=\Delta AKI$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{IAH}=\widehat{IAK}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow$ AI là phân giác góc .

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại M. Kẻ MD vuông góc với BC (D thuộc BC).

a) Chứng minh BA = BD.

b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. Chứng minh $\Delta ABC=\Delta DBE$ .

Lời giải:

a) Vì BM là tia phân giác của góc CBA nên $\widehat{DBM}=\widehat{MBA}$ (tính chất)

Vì MD vuông góc với BC nên $\widehat{MDB}=90°$

Xét tam giác DBM và tam giác ABM có:

$\widehat{MDB}=\widehat{MAB}=90°$

$\widehat{DBM}=\widehat{MBA}$ (chứng minh trên)

BM chung

Do đó $\Delta DBM=\Delta ABM$ (cạnh huyền – góc nhọn).

$\Rightarrow DB=AB$ (hai cạnh tương ứng).

b) Xét tam giác ABC và tam giác DBE có:

AB = BD (chứng minh trên)

$\widehat{ABC}$ chung

$\widehat{EDB}=\widehat{CAB}=90°$

Do đó: $\Delta ABC=\Delta DBE$ (g – c – g).

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 7 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức Tổng ba góc trong một tam giác chi tiết

Công thức tính góc ngoài tam giác hay, chi tiết

Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác thường đầy đủ, chi tiết

Tính chất tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông cân đầy đủ, chi tiết

Định lý Py-ta-go và định lý Py-ta-go đảo đầy đủ, chi tiết