Cách giải bài tập Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ cơ bản và nâng cao – Toán lớp 7

Cách giải bài tập Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ cơ bản và nâng cao – Toán lớp 7

I. LÝ THUYẾT:

1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ:

- Mỗi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$($a,b\in Z,b\ne 0$) Ta cộng trừ số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số có mẫu số dương rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số.

- Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số: Giao hoán, kết hợp, cộng với số 0. Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối.

2. Quy tắc chuyển vế:

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó.

3. Quy tắc nhân, chia số hữu tỉ:

Với hai số hữu tỉ $x=\frac{a}{b}; y=\frac{c}{d}$

- Nhân hai số hữu tỉ: x.y= $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

- Chia hai số hữu tỉ: x:y= $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}$=$\frac{a}{b}.\frac{d}{c}$=$\frac{ad}{bc}$ ( y$\ne$0)

4. Chú ý:

- Phép cộng trong $\square$ , ta cũng có những tổng đại số, trong đó có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong $\square$

- Phép nhân trong $\square$ có các tính chất cơ bản: giao hoán, kết hợp, nhân với 1, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

- Thương của phép chia x cho y gọi là tỉ số của x và y, kí hiệu là $\frac{x}{y}$ .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 2.1: Cộng, trừ hai số hữu tỉ.

1. Phương pháp giải:

- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương (bằng cách quy đồng mẫu của chúng);

- Cộng, trừ hai tử số, mẫu chung giữ nguyên;

- Rút gọn kết quả (nếu có thể).

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính: $\frac{3}{5}+\frac{-1}{3}$

Giải: $\frac{3}{5}+\frac{-1}{3}=\frac{9}{15}+\frac{-5}{15}=\frac{9-5}{15}=\frac{4}{15}$

Dạng 2.2: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ.

1. Phương pháp giải:

Một trong các phương pháp giải có thể là:

- Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương.

- Viết tử của phân số thành tổng hoặc hiệu của hai số nguyên.

- Tách ra hai phân số có tử là các số nguyên vừa tìm được.

- Rút gọn phân số (nếu có thể).

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2: Viết số hữu tỉ $\frac{-7}{12}$ dưới các dạng sau đây:

a) $\frac{-7}{12}$ là tổng của hai số hữu tỉ âm.

b) $\frac{-7}{12}$ là hiệu của hai số hữu tỉ dương.

Giải:

a) $\frac{-7}{12}$ là tổng của hai số hữu tỉ âm là: $\frac{-7}{12}=\frac{-1}{6}+\frac{-5}{12}$  vì

$\frac{-2}{12}+\frac{-5}{12}=\frac{-1}{6}+\frac{-5}{12}=\frac{-7}{12}$

b) $\frac{-7}{12}$ là hiệu của hai số hữu tỉ dương là:$\frac{-7}{12}=1-\frac{19}{12}$ vì

$\frac{12}{12}-\frac{19}{12}=1-\frac{19}{12}=\frac{-7}{12}$

Dạng 2.3: Tìm số hạng chưa biết trong một tổng hoặc một hiệu.

1. Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Tìm x biết:

a) x + $\frac{2}{3}=\frac{4}{5}$                                                          

b) x - $\frac{1}{15}=\frac{1}{10}$

Giải:

a) x + $\frac{2}{3}=\frac{4}{5}$

    x         = $\frac{4}{5}-\frac{2}{3}$

    x         = $\frac{2}{15}$                                                       

  Vậy x = $\frac{2}{15}$ là giá trị cần tìm.                                                   

b) x - $\frac{1}{15}=\frac{1}{10}$

    x          = $\frac{1}{10}+\frac{1}{15}$

   x           = $\frac{1}{6}$

Vậy x = $\frac{1}{6}$ là giá trị cần tìm.

Dạng 2.4: Nhân, chia hai số hữu tỉ.

1. Phương pháp giải:

- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số.

- Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số;

- Rút gọn kết quả (nếu có thể).

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 4: Tính:

a) $3,5. (-1\frac{1}{4})$                                                       b) $\frac{-5}{17}: (-2)$

Giải:

a) 3,5. ($-1\frac{1}{4}$) = $\frac{7}{2}.\frac{-5}{4}$= $\frac{7.(-5)}{2.4}=\frac{-35}{8}=-4,375$

b)$\frac{-5}{17}:(-2)$=$\frac{-5}{17}.\frac{1}{-2}=\frac{(-5).1}{17.(-2)}=\frac{5}{34}$

Dạng 2.5: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ.

1. Phương pháp giải:

- Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số;

- Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số nguyên;

- “Tách” ra hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên tìm được;

- Lập tích hoặc thương của các phân số đó.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 5: Viết số hữu tỉ $\frac{-5}{12}$ dưới các dạng sau đây:

a) $\frac{-5}{12}$ là tích của hai số hữu tỉ.

b) $\frac{-5}{12}$ là thương của hai số hữu tỉ.

Giải:

a) $\frac{-5}{12}$ là tích của hai số hữu tỉ là: $\frac{-5}{12}=\frac{-1}{6}.\frac{5}{2}$ vì $\frac{-1}{6}.\frac{5}{2}=\frac{-1.5}{6.2}=\frac{-5}{12}$

b) $\frac{-5}{12}$ là thương của hai số hữu tỉ là: $\frac{-5}{12}=\frac{-5}{6}:2$  vì

$\frac{-5}{6}:2=\frac{-5}{6}.\frac{1}{2}=\frac{-5.1}{6.2}=\frac{-5}{12}$

Dạng 2.6: Thực hiện các phép tính với nhiều số hữu tỉ.

1. Phương pháp giải:

- Thứ tự thực hiện phép tính: Trong một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia ta thực hiện nhân, chia trước cộng, trừ sau.

- Đối với phép tính có dấu ngoặc, ta áp dụng quy tắc dấu ngoặc đối với các số hữu tỉ:

+ Nếu có các dấu ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn thì làm theo thứ tự trước hết tính trong ngoặc tròn rồi đến ngoặc vuông, cuối cùng là ngoặc nhọn.

+ Nếu có các dấu ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn thì làm theo thứ tự trước hết tính trong ngoặc tròn rồi đến ngoặc vuông, cuối cùng là ngoặc nhọn.

+ Có thể bỏ dấu ngoặc rồi tính hoặc nhóm các số hạng một cách thích hợp: $\forall a,b\in \square :-(a+b)=-a-b$

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 6: Tính:

a) $\frac{2}{5}$+(-$\frac{4}{3}$)+(-$\frac{1}{2}$)                                   

b)$\frac{-5}{6}.\frac{12}{-7}$.$\left(\frac{-21}{15}\right)$

Giải:

a)$\frac{2}{5}+(-\frac{4}{3})+(-\frac{1}{2})=\frac{2}{5}+\frac{-4}{3}+\frac{-1}{2}=\frac{12}{30}+\frac{-40}{30}+\frac{15}{30}$=$\frac{-43}{30}$

b) 

Dạng 2.7: Tính giá trị biểu thức bằng cách thuận tiện nhất.

1. Phương pháp giải:

Đối với những bài tính nhanh, với mọi a, b, c  ta có thể áp dụng các tính chất sau:

- Tính chất giao hoán:

+ Phép cộng: a + b = b + a;

+ Phép nhân: a.b = b.a.

- Tính chất kết hợp:

+ Phép cộng: (a + b) + c = a + (b + c);

+ Phép nhân: (a.b).c = a.(b.c).

- Tính chất phân phối giữa phép nhân với phép cộng: a(b + c) = ab + ac.

- Tính chất phân phối giữa phép nhân với phép trừ: a(b - c) = ab - ac.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 7: Tính nhanh:

a) $\frac{1}{3}+\frac{5}{7}+\frac{-1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{2}{7}+\frac{11}{6}$

b)$\frac{3}{5}.\frac{4}{7}+\frac{3}{5}.\frac{10}{7}$

Giải:

a) $\frac{1}{3}+\frac{5}{7}+\frac{-1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{2}{7}+\frac{11}{6}=(\frac{1}{3}+\frac{-1}{3})+(\frac{5}{7}+\frac{2}{7})+( \frac{1}{6}+\frac{11}{6})$

                                                 = 0         + 1       +      2

                                                 = 3

b) $\frac{3}{5}.\frac{4}{7}+\frac{3}{5}.\frac{10}{7}=\frac{3}{5}(\frac{4}{7}+\frac{10}{7})=\frac{3}{5}.2=\frac{6}{5}$

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Tính:

a) $\frac{-2}{13}+\frac{-11}{26}$                    b)$-2+\frac{-5}{8}$                      c)$\frac{-13}{15}+\frac{5}{-18}$

Bài 2: Tính:

a) $\frac{-2}{5}-\frac{-3}{11}$                               b) $\frac{13}{30}-\frac{1}{5}$                       c)$(-4)-(-\frac{4}{5})$

Bài 3: Tìm ba cách viết số hữu tỉ  dưới dạng:

a) Tổng của hai số hữu tỉ âm.

b) Hiệu của một số hữu tỉ âm và một số hữu tỉ dương.

Bài 4: Tìm x biết:

a) x + $\frac{3}{8}=\frac{1}{12}$                                               

b)$x +\frac{1}{3}=\frac{2}{5}-(-\frac{1}{3})$

c) $\frac{2}{5}x - \frac{1}{3}= -2$               

d) $\frac{-2}{15} - x = \frac{-3}{10}+\frac{1}{5}$

Bài 5: Tính:

a) $\frac{-9}{34}.\frac{17}{4}$                    b)$\frac{17}{15}:\frac{4}{3}$                          c)$4\frac{1}{5}: (-2\frac{4}{5})$

Bài 6: Tìm ba cách viết số hữu tỉ $\frac{-8}{15}$ dưới dạng:

a) Tích của hai số hữu tỉ.

b) Thương của hai số hữu tỉ.

Bài 7: Tính:

a)$\frac{3}{5}+(-\frac{4}{3})+(-\frac{3}{4})$                                    

b)$\frac{5}{8}-(-\frac{2}{5})-\frac{3}{10}$

c)$\frac{1}{6}.\frac{9}{-8}.\left(\frac{-12}{11}\right)$                                           

d)$(\frac{17}{18}:\frac{51}{36}).\frac{3}{5}$

Bài 8: Tính nhanh:

$A= \frac{25}{3}-\frac{46}{5}-\frac{18}{7}+\frac{5}{3}+\frac{126}{5}-\frac{37}{2}$

$B = (-\frac{5}{9}).\frac{3}{11}+(-\frac{3}{28}).\frac{3}{11}$

Bài 9: Bỏ ngoặc rồi thực hiện phép tính:

a)$\frac{1}{12}-(-\frac{1}{6}-\frac{1}{4})$

b)$\frac{1}{3}-\left[(-\frac{5}{4})-(\frac{1}{4}+\frac{3}{8})\right]$

c) $\frac{3}{4}-\left[\left(-\frac{5}{3}\right)+(\frac{1}{12}-\frac{2}{9})\right]$

Bài 10: Tính giá trị biểu thức M = $\frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}+{\displaystyle \frac{3}{11}}}{{\displaystyle \frac{13}{4}}-{\displaystyle \frac{13}{5}}+{\displaystyle \frac{13}{7}}+{\displaystyle \frac{13}{11}}}$

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Tính:

a) $\frac{-2}{3}+\frac{-11}{26}=\frac{-4}{26}+\frac{-11}{26}=\frac{-15}{26}$                            

b)$-2+\frac{-5}{8}=\frac{-16}{6}+\frac{-5}{8}=\frac{-21}{8}$                      

c) $\frac{-13}{15}+\frac{5}{-18}=\frac{-78}{90}+\frac{-25}{90}=\frac{-103}{90}$

Bài 2: Tính:

a)$\frac{-2}{5}-\frac{-3}{11}=\frac{-22}{55}-\frac{-15}{55}=\frac{-7}{55}$                               

b)$\frac{13}{30}-\frac{1}{5}=\frac{13}{30}-\frac{6}{30}=\frac{7}{30}$                            

c) $(-4)-(-\frac{4}{5})=\frac{-20}{5}+\frac{4}{5}=\frac{-16}{5}$

Bài 3:

a) Ba cách viết tổng của hai số hữu tỉ âm:

$\frac{-8}{15}=\frac{-1}{15}+\frac{-7}{15}; \frac{-8}{15}=\frac{-2}{15}+\frac{-6}{15}; \frac{-8}{15}=\frac{-1}{3}+\frac{-1}{5}$

b) Ba cách viết hiệu của một số hữu tỉ âm và một số hữu tỉ dương.

$\frac{-8}{15}=\frac{-2}{5}-\frac{2}{15};\frac{-8}{15}=\frac{-7}{15}-\frac{1}{15};\frac{-8}{15}=\frac{-1}{5}-\frac{1}{3}$

Bài 4: Áp dụng quy tắc chuyển vế và cộng, trừ các số hữu tỉ để tìm x.

a) $x =\frac{-7}{24}$                                            b)$x =\frac{2}{5}$

c) $x = \frac{-25}{6}$                                          d) $x=\frac{-1}{30}$

Bài 5:

a)$\frac{-9}{34}.\frac{17}{4}=\frac{-9.17}{34.4}=\frac{-9}{8}$                                      

b)$\frac{17}{15}:\frac{4}{3}=\frac{17}{15}.\frac{3}{4}=\frac{17.3}{15.4}=\frac{17}{20}$                       

c)$4\frac{1}{5}:(-2\frac{4}{5})=\frac{21}{5}:\frac{-14}{5}=\frac{21}{5}.\frac{-5}{14}=\frac{-3}{2}$

Bài 6:

a) Ba cách tích của hai số hữu tỉ:

$\frac{-8}{15}=\frac{-2}{3}.\frac{4}{5};\frac{-8}{15}=\frac{1}{5}.\frac{-8}{5};\frac{-8}{15}=2.\frac{-4}{15}$

b) Ba cách thương của hai số hữu tỉ.

$\frac{-8}{15}=4:\frac{-15}{2};\frac{-8}{15}=\frac{1}{3}:\frac{-5}{8};\frac{-8}{15}=\frac{1}{6}:\frac{-5}{16}$

Bài 7:

a)$\frac{3}{5}+\left(-\frac{4}{3}\right)+\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{36}{60}+\frac{-80}{60}+\frac{-45}{60}=\frac{-89}{60}$                                    

b)$\frac{5}{8}-\left(-\frac{2}{5}\right)-\frac{3}{10}=\frac{25}{40}+\frac{16}{40}-\frac{12}{40}=\frac{29}{40}$

c) $\frac{1}{6}.\frac{9}{-8}.\left(-\frac{12}{11}\right)=\frac{9.12}{6.8.11}=\frac{9}{44}$                                       

d)$\left(\frac{17}{18}:\frac{51}{36}\right).\frac{3}{5}=\frac{17}{18}.\frac{36}{51}.\frac{3}{5}=\frac{17.36.2}{18.51.5}=\frac{2}{5}$

Bài 8: 

$A = \frac{25}{3}-\frac{46}{5}-\frac{18}{7}+\frac{5}{3}+\frac{126}{5}-\frac{37}{2}$

    = $\left(\frac{25}{3}+\frac{5}{3}\right)+\left(-\frac{46}{3}+\frac{126}{5}\right)-\left(\frac{18}{7}+\frac{37}{2}\right)$

     =  10+16 - $\frac{295}{14}$= $\frac{69}{14}$

$B=\left(-\frac{5}{9}\right).\frac{3}{11}+\left(-\frac{13}{9}\right).\frac{3}{11}=\left(-\frac{5}{9}-\frac{13}{9}\right).\frac{3}{11}=-2.\frac{3}{11}=\frac{-6}{11}$

Bài 9: (Áp dụng quy tắc bỏ ngoặc)

a) $\frac{1}{12}-\left(-\frac{1}{6}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

b)$\frac{1}{3}-\left[\left(-\frac{5}{4}\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{8}\right)\right]=\frac{1}{3}-\left[\frac{-5}{4}-\frac{1}{4}-\frac{3}{8}\right]=\frac{1}{3}+\frac{5}{4}+\frac{1}{4}+\frac{3}{8}=\frac{53}{24}$  

c)$\frac{3}{4}-\left[\left(-\frac{5}{3}\right)+\left(\frac{1}{12}-\frac{2}{9}\right)\right]=\frac{3}{4}-\left[\frac{-5}{3}+\frac{1}{12}-\frac{2}{9}\right]=\frac{3}{4}+\frac{5}{3}-\frac{1}{12}+\frac{2}{9}=\frac{23}{9}$  

Bài 10:

$M=\frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}+{\displaystyle \frac{3}{11}}}{{\displaystyle \frac{13}{4}}-{\displaystyle \frac{13}{5}}+{\displaystyle \frac{13}{7}}+{\displaystyle \frac{13}{11}}}=\frac{3.\left({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{1}{11}}\right)}{3.\left({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{1}{11}}\right)}=\frac{3}{13}$

Xem thêm các dạng bài tập và công thức Toán lớp 7 hay, chi tiết khác: