Định lí Pi-ta-go và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 7

I. LÝ THUYẾT:

1. Định lí Pytago:

Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

∆ABC vuông tại A: BC² = AB² + AC²

2. Định lí Pytago đảo:

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

∆ABC có BC² = AB² + AC² thì ∆ABC vuông tại A

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 4.1: Tính độ dài một cạnh của tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh.

1. Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí Py- ta-go trong tam giác vuông

∆ABC vuông tại A: BC² = AB² + AC²

- Có trường hợp phải kẻ thêm đường vuông góc để tạo thành tam giác vuông.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC (H nằm giữa A và C). Tính độ dài BC, biết HA = 1cm, HC = 8cm.

Giải:

Ta có AC = AH + HC = 1 + 8 = 9 cm

Lại có ∆ABC cân tại A nên AB = AC = 9 cm

Áp dụng định lí Py-ta-go cho $\Delta \text{\hspace{0.17em}ABH}$ vuông tại H ta có:

AB² = AH² + BH² $\Rightarrow$ BH² = AB² – AH² = 92 – 12 = 80

Áp dụng định lí Py-ta-go cho $\Delta \text{\hspace{0.17em}BCH}$vuông tại H ta có:

BC² = BH² + CH²  = 80 + 82 = 144

$\Rightarrow$ BC = 12

Vậy độ dài BC = 12 cm.

Ví dụ 2: Cho$∆$ABC vuông ở A có $\frac{AB}{AC}=\frac{8}{15}$, BC = 51. Tính AB, AC.

Giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go cho $\Delta ABC$ vuông tại A có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

Có $\frac{AB}{AC}=\frac{8}{15}$$\Rightarrow \frac{AB}{8}=\frac{AC}{15}$

$\Rightarrow \frac{A{B}^2}{64}=\frac{A{C}^2}{225}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{64+225}=\frac{B{C}^2}{289}=\frac{{51}^2}{289}=9$ 

$\Rightarrow \frac{AB}{8}=\frac{AC}{15}=3$

Suy ra: AB = 8 . 3 = 24; AC = 15 . 8 = 45

Vậy AB = 24; AC = 45.

Dạng 4.2: Sử dụng định lý Py - ta - go để nhận biết tam giác vuông.

1. Phương pháp giải:

- Tính bình phương các độ dài ba cạnh của tam giác.

- So sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng các bình phương của hai cạnh kia.

- Nếu hai kết quả bằng nhau thì tam giác đó là tam giác vuông, cạnh lớn nhất là cạnh huyền.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Giải:

Ta có 6² =36, 8² = 64, 10² = 100

Mà 100 = 36 + 64 hay 10² = 8² + 6²

Nên theo định lí Py - ta - go đảo, tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Độ dài một cạnh góc vuông của một tam giác vuông cân bằng 3 cm. Độ dài cạnh huyền bằng?

A. 6 cm

B.$\sqrt{\text{12}}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}$

C.$\sqrt{\text{18}}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}$

D. 3,5 cm

Bài 2: Ba số nào dưới đây có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông?

A. 4cm; 5cm; 6cm

B. 6cm; 6cm; 9cm

C. 5cm; 13cm;15cm

D. 20cm; 21cm; 29cm

Bài 3: Tam giác có độ dài ba cạnh bằng 4cm, 7cm, 8cm có là tam giác vuông không? Vì sao?

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$. Biết BC = 20cm, tính các độ dài AB, AC.

Bài 5: Tính diện tích của tam giác ABC. Biết rằng AB = 12cm, AC = 16cm, BC = 20cm.

Bài 6: Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc BC (H nằm giữa B và C). Biết

BH = 9cm, HC = 16cm, HA = 12cm. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Bài 7: Cho các độ dài 6cm, 7cm, 8cm, 10cm, 24cm, 26cm. Ba độ dài nào có thể là độ dài các cạnh của tam giác vuông?

Bài 8: Tam giác ABC có góc $\widehat{A}$ tù, $\widehat{C}={30}^o,AB=29,AC=40$. Vẽ đường cao AH và tính BH.

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC (H nằm giữa A và C). Biết HA = 7cm, HC = 18cm. Tính các độ dài BH và BC.

Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD.

Chứng minh rằng:

a) BE = CD

$\text{b)\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\Delta BMD=\Delta CME$

c) AM là phân giác của $\widehat{BAC}.$

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Đáp án C.

Bài 2: Đáp án D.

Bài 3: Ta có 4² =16, 7² = 49, 8² = 64

Mà 16 + 49 = 65 ≠ 64

Nên theo định lí Py - ta - go đảo, tam giác có độ dài 3 cạnh 4m, 7m, 8m không là tam giác vuông.

Bài 4: Đặt AB = 3k, AC = 4k

Theo định lý Py-ta-go ta có:

AB² + AC² = BC²

$\Rightarrow$ (3k)² + (4k)² = 20²

$\Rightarrow$ k = 4

Vậy AB =12cm; AC = 16cm.

Bài 5: Áp dụng định lý Py-ta-go đảo, ta biết được tam giác ABC vuông tại A.

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}\mathrm{.12.16}=96c{m}^2$

Bài 6:

+) Áp dụng Py-ta-go cho hai tam giác vuông ABH và ACH được:

 AB = 15; AC = 20

+) BC = 25

BC² = AB² + AC²  (25² = 15² + 20²).

Theo định lý Py-ta-go đảo, tam giác ABC vuông tại A.

Bài 7: Ba độ dài độ dài các cạnh của tam giác vuông là (6; 8; 10), (10; 24; 26).

Bài 8:

Xét $\text{ΔAHC}$ vuông ở H có $\widehat{C}={30}^o$ nên $\text{AH\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}}\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{AC\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}20}$

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABH ta được BH = 21.

Bài 9:

Tam giác ABC cân tại A nên:

AB = AC = HA + HC = 7 + 18 = 25cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác AHB vuông tại H ta có: BH = 24cm

Áp dụng Py-ta-go vào tam giác vuông BHC được BC = 30cm.

Bài 10:

$a)\Delta ABE=\Delta ACD(c.g.c)$ suy ra BE = CD

b) Ta có $\Delta MDB=\Delta MEC(g.c.g)$

Do đó: MB = MC

c)$\Delta AMB=\Delta AMC(c.c.c)$ 

Suy ra: $\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$. Hay AM là phân giác của góc BAC.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Tổng ba góc của một tam giác và cách giải các dạng bài tập

Hai tam giác bằng nhau và các trường hợp bằng nhau của hai tam giác – Toán lớp 7

Tam giác cân, Tam giác đều và cách giải các dạng bài tập

Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông và cách giải