Đại lượng tỉ lệ nghịch và cách giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch – Toán lớp 7

Đại lượng tỉ lệ nghịch và cách giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch - Toán lớp 7

I. LÝ THUYẾT:

1. Định nghĩa:

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y=\frac{a}{x}$ hay x.y = a (a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

Chú ý:

- Khi y tỉ lệ nghịch với x thì x cũng tỉ lệ nghịch với y và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau.

- Đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng theo hệ số tỉ lệ a thì đại lượng x cũng tỉ lệ với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ là a.

2. Tính chất:

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau, tức là với mỗi giá trị x₁, x₂, x₃,... khác 0 của x ta có một giá trị tương ứng $y_1=\frac{a}{x_1},$$y_2=\frac{a}{x_2},$$y_3=\frac{a}{x_3}$,… của y thì:

- Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ)

x₁ y₁ = x₂ y₂ = x₃ y₃ = ... = a.

 - Tỉ số hai giá trị bất kì của địa lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1},\frac{x_1}{x_3}=\frac{y_3}{y_1},\mathrm{...}$

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 2.1: Tính hệ số tỉ lệ, biểu diễn x theo y, tính một giá trị khi biết giá trị kia.

1. Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $y=\frac{a}{x}$ để xác định tương quan tỉ lệ thuận giữa hai đại lượng và xác định hệ số tỉ lệ.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau khi x = 6 thì y = 10.

a) Tìm hệ số tỉ lệ a của y đối với x;

b) Hãy biểu diễn y theo x;

c) Tính giá trị của y khi x = 4; x =12.

Giải:

Hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo số a nên ta có công thức $y=\frac{a}{x}$ hay x.y = a.

a) Với x = 6, y = 10 ta có a = 6.10 = 60.

 Vậy y và x tỉ lệ nghịch theo hệ số là 60.

Dạng 2.2: Lập bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

1. Phương pháp giải:

- Xác định hệ số tỉ lệ a.

- Dùng công thức $y=\frac{a}{x}$ hay $x=\frac{a}{y}$ để tìm các giá trị tương ứng của x và y.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Tìm công thức liên hệ giữa x và y và điền vào chỗ trống.

x	20	–15	4	– 0,5	6		–1,5
y		– 4				30

Giải:

Gọi hệ số tỉ lệ của x và y là a, nghĩa là $y=\frac{a}{x}$ hay x.y = a.

Ta có x = –15 thì y = –  4 nên suy ra a = x.y = (–15).(– 4) = 60.

Vậy x.y = 60.

Khi x = 20 thì y = 60 : 20 = 3.

Khi x = 4 thì y = 60 : 4 = 15

Khi x = – 0,5 thì y = 60 : (–0,5) = –120

Khi x = 6 thì y = 60 : 6 = 10

Khi y = 30 thì x = 60 : 30 = 2.

Khi x = –1,5 thì y = 60 : (–1,5) = – 40.

Vậy ta có bảng sau :

x	20	–15	4	– 0,5	6	2	–1,5
y	3	– 4	15	–120	10	30	– 40

Dạng 2.3: Nhận biết hai đại lượng có tỉ lệ nghịch không.

1. Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa và tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Xét xem tất cả các tích các giá trị tương ứng của hai đại lượng có bằng nhau không.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Các đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau hay không nếu bảng các giá trị tương ứng của chúng như sau:

a)

x	10	15	22,5	30	37,5
y	6,75	4,5	3	2,15	1,8

b)

x	1	–2,4	4	– 6	8
y	12	–5	3	–2	1,5

Giải:

a) Ta thấy: 10.6,75 = 15.4,5 = 22,5.3 = 37,5.1,8 = 67,5 ≠ 30.2,15 = 64,5.

Vậy x và y không phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

b) Ta thấy: 1.12 = (–2,4).(–5) = 4.3 = (– 6).(–2) = 8.1,5 = 12.

Vậy x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Dạng 2.4: Các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch.

1. Phương pháp giải:

Bài toán 1: Toán về đại lượng tỉ lệ nghịch.

- Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng.

- Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Bài toán 2: Chia một số thành những phần tỉ lệ nghịch với các số cho trước.

Giả sử phải chia số M thành ba phần x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c. Ta có

ax = by = cz  hay $\frac{x}{\frac{1}{a}}=\frac{y}{\frac{1}{b}}=\frac{z}{\frac{1}{c}}.$

Như vậy, để chia số M thành các phần tỉ lệ nghịch với a, b, c (khác 0), ta chỉ cần chia số M thành các phần tỉ lệ thuận với các số $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}.$

Sau đó, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải quyết bài toán.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 4: Để làm một công việc, người ta cần huy động 40 công nhân làm trong 12 giờ. Nếu số người tăng thêm 8 công nhân thì thời gian hoàn thành công việc là mấy giờ? (giả sử năng suất làm việc của mỗi người là như nhau).

Giải:

Vì năng suất làm việc của mỗi người là như nhau nên số công nhân và số giờ để hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Gọi số công nhân là y (công nhân); thời gian hoàn thành công việc sau khi đã bổ sung thêm người là x (giờ)

Ta có x.y = a

Khi y = 40 thì x = 12 nên ta có a = 40.12 = 480.

Do đó x.y = 480.

Số công nhân sau khi tăng thêm là: 40 + 8 = 48 (công nhân)

Vậy khi y = 48 thì x = 480 : 48 = 10.

Vậy sau khi tăng thêm 8 công nhân thì thời gian hoàn thành công việc là 10 giờ.

Ví dụ 5: Để đi từ A đến B có thể dùng máy bay, ô tô và xe lửa. Vận tốc của máy bay, ô tô và xe lửa tỉ lệ với 6; 2; 1. Biết thời gian đi từ A đến B bằng máy bay ít hơn so với đi bằng ô tô là 6 giờ. Hỏi thời gian máy bay, ô tô và xe lửa đi quãng đường AB là bao lâu?

Giải:

Gọi thời gian máy bay, ô tô và xe lửa đi từ A đến B lần lượt là a, b, c (giờ)

Theo đề bài ta có: b – a = 6.

Trên cùng một quãng đường AB thì thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc.

Do đó: 6a = 2b = c hay $\frac{a}{\frac{1}{6}}=\frac{b}{\frac{1}{2}}=\frac{c}{1}$  

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{\frac{1}{6}}=\frac{b}{\frac{1}{2}}=\frac{c}{1}=\frac{b-a}{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}=\frac{6}{\frac{1}{3}}=18.$

Do đó: $a=18.\frac{1}{6}=3$

           $b=18.\frac{1}{2}=9$

          c = 18.1 = 18

Vậy thời gian máy bay, ô tô và xe lửa đi quãng đường AB lần lượt là 3 giờ, 9 giờ và 18 giờ.

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ là – 6 . Khi x = 4 thì y = ?

A. –1,5

B. 1,5

C. – 2

D. 2

Bài 2: Viết biểu thức tỉ lệ phù hợp cho các câu sau:

a) Đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ là –3.

b) Ba đại lượng x, y, z lần lượt tỉ lệ nghịch với $0,5;-2;\frac{2}{5}.$

Bài 3: Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi:

 x = 5 thì y = –2 .

a) Tìm hệ số tỉ lệ.

b) Hãy biểu diễn y theo x.

c) Tính giá trị của y khi x = 1; x = – 4.

Bài 4: Viết biểu thức liên hệ giữa x, y, z dưới dạng các phân số bằng nhau biết:

a) x; y; z tỉ lệ nghịch với 2; 5; 7.

b) x; y; z tỉ lệ nghịch với $-\frac{1}{2};-4;0,2.$

Bài 5: Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y, và x₁; x₂ là hai giá trị của x, và y₁; y₂ là hai giá trị tương ứng của y. Biết x₁ = 1, x₂ = 6 và y₁ + y₂ =28. Giá trị của y₁; y₂ lần lượt là bao nhiêu?

Bài 6: Các đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau không, nếu:

a)

x	6	– 9	4	–2,5	72
y	– 3	2	– 4,5	7,2	– 0,25

b)

x	– 15	6	2,4	– 12	11
y	– 4	10	25	– 5	5,5

Bài 7: Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 50km/h thì hết 135 phút. Hỏi chiếc ô tô đó chạy từ A đến B với vận tốc 45km/h thì hết bao nhiêu thời gian?

Bài 8: Một đội 24 người trồng xong số cây dự định trong 5 ngày. Nếu đội được bổ sung thêm 6 người nữa thì sẽ trồng xong số cây ấy sớm được mấy ngày? (Giả sử năng suất làm việc của mọi người như nhau).

Bài 9: Cùng một khối lượng công việc, ba đội sản xuất hoàn thành trong thời gian lần lượt là 4 ngày, 5 ngày, 7 ngày. Tính số người của mỗi đội, biết rằng tổng số người của hai đội nhỏ nhiều hơn đội lớn 26 người. (Giả thiết năng suất lao động của mỗi người là như nhau).

Bài 10: Một ô tô dự định chạy từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến B muộn so với dự định 30 phút. Nếu xe chạy với vận tốc 60km/h thì đến B sớm hơn so với dự định là 30 phút. Tính thời gian dự định đi và quãng đường AB.

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Đáp án: A

Bài 2:

a)$x=\frac{-3}{y}$

b)$0,5.x=-2.y=\frac{2}{5}.z$

Bài 3:

a) Hệ số tỉ lệ: –10

b) $y=-\frac{10}{x}$

c) y = –10; y = 2,5

Bài 4:

$a)2x=5y=7z\Rightarrow \frac{2x}{\mathrm{2.5.7}}=\frac{5y}{\mathrm{2.5.7}}=\frac{7z}{\mathrm{2.5.7}}$

$\Rightarrow \frac{x}{35}=\frac{y}{14}=\frac{z}{10}.$

$b)-\frac{1}{2}x=-4y=0,2z\Rightarrow -\frac{1}{2}x=-4y=\frac{1}{5}z$

$\Rightarrow -5x=-40y=2z\Rightarrow \frac{x}{8}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-20}.$

Bài 5:

Do x tỉ lệ nghịch với y nên ta có:

$\frac{y_1}{x_2}=\frac{y_2}{x_1}=\frac{y_1+y_2}{x_2+x_1}=\frac{28}{1+6}=4$

y₁ = 24; y₂ = 4.

Bài 6:

a) Có.

b) Không.

Bài 7: 150 phút.

Bài 8:

Do số cây trồng khi tăng thêm người không đổi, khi số người tăng lên thì số ngày hoàn thành giảm xuống nên số ngày hoàn thành và số người tỉ lệ nghịch với nhau.

Sau khi thêm 6 người, số người trong đội là

 24 + 6 = 30 ( người )

Gọi x là số ngày 30 người trồng xong số cây.

Khi đó, $\frac{24}{30}=\frac{x}{5}\Rightarrow x=4.$

Vậy đội hoàn thành sớm hơn:

5 – 4 = 1 (ngày).

Bài 9: Gọi số người của ba đội lần lượt là a; b; c.

Do khối lượng công việc như nhau, nên số người mỗi đội tỉ lệ nghịch với thời gian hoàn thành công việc.

$4a=5b=7c\Rightarrow \frac{a}{35}=\frac{b}{28}=\frac{c}{20}=\frac{(b+c)-a}{\left(28+20\right)-35}=\frac{26}{13}=2$

=> a = 70; b =56; c = 40.

Bài 10:

30 phút = 0,5 giờ.

Gọi thời gian dự định là t giờ.

Thời gian xe chạy quãng đường AB với vận tốc 50 km/h là t₁ = t + 0,5.

Thời gian xe chạy quãng đường AB với vận tốc 60km/h là t₂ = t – 0,5. Cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian đi tương ứng tỉ lệ nghịch với nhau.

Ta có:

$\frac{50}{60}=\frac{t_2}{t_1}\Rightarrow \frac{t_1}{60}=\frac{t_2}{50}=\frac{t_1-t_2}{60-50}=\frac{t+0,5-t+0,5}{10}=\frac{1}{10}$

=> t₁ = 6.

Thời gian đi dự định là 6 – 0,5 = 5,5 (giờ)

Quãng đường AB là 6.50 = 300 (km).