Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác thường đầy đủ, chi tiết hay nhất - Toán lớp 7

I. Lý thuyết

Định nghĩa hai tam giác bằng nhau: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có csc cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’.

$\Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ khi $\left\{\begin{array}{l}\widehat{A}=\widehat{A\text{'}};\widehat{B}=\widehat{B\text{'}};\widehat{C}=\widehat{C\text{'}}\\ AB=A\text{'}B\text{'};AC=A\text{'}C\text{'};BC=B\text{'}C\text{'}\end{array}\right.$

1. Trường hợp bằng nhau thứ nhất (c – c – c)

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’

$\left.\begin{array}{l}AB=A\text{'}B\text{'}\\ AC=A\text{'}C\text{'}\\ BC=B\text{'}C\text{'}\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$(c – c – c)

2. Trường hợp bằng nhau thứ hai (c – g – c)

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có:

 $\left.\begin{array}{l}AB=A\text{'}B\text{'}\\ \widehat{B}=\widehat{B\text{'}}\\ BC=B\text{'}C\text{'}\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ (c – g – c)

3. Trường hợp bằng nhau thứ ba (g – c – g)

Nếu một cạnh và hai góc kề cạnh của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’ ta có:

$\left.\begin{array}{l}\widehat{C}=\widehat{C\text{'}}\\ \widehat{B}=\widehat{B\text{'}}\\ BC=B\text{'}C\text{'}\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta ABC=\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ (g – c – g)

II. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh :

a) $\widehat{B}=\widehat{C}$ .

b) AM là tia phân giác của .

Lời giải:

a) Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (giả thuyết)

BM = MC (do M là trung điểm của BC)

AM chung

Do đó $\Delta ABM=\Delta ACM$ (c – c – c)

$\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}$ (hai góc tương ứng).

b) Vì $\Delta ABM=\Delta ACM$ $\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow$AM là phân giác của $\widehat{BAC}$ .

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB < AC. Phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D. Trên cạnh AC lấy E sao cho AE = AB. Chứng minh:

a) $\Delta ABD=\Delta AED$ .

b) DA là tia phân giác của góc $\widehat{BDE}$ .

c) Chứng minh $\widehat{ABC}>\widehat{ACB}$ .

Lời giải:

a) Vì AD là tia phân giác $\widehat{A}$$\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (tính chất)

Xét tam giác ABD và tam giác AED có:

AB = AE (giả thuyết)

$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (chứng minh trên)

AD chung

Do đó $\Delta ABD=\Delta AED$ (c – g – c)

b) Vì $\Delta ABD=\Delta AED$$\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ADE}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow$DA là phân giác $\widehat{BDE}$ .

c) Vì $\Delta ABD=\Delta AED$ nên $\widehat{ABD}=\widehat{AED}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat{ABC}=\widehat{AED}$   (1)

Xét tam giác DCE có $\widehat{AED}$  là góc ngoài tại đỉnh E của tam giác

$\Rightarrow \widehat{AED}>\widehat{ACB}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)  (2)

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow \widehat{ABC}>\widehat{ACB}$ (điều phải chứng minh).

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AB. Qua M kẻ đường thẳng d song song với BC, đường thẳng d cắt CA tại N. Chứng minh:

a) $\Delta ABC=\Delta AMN$ ;

b) A là trung điểm của NC.

Lời giải:

a) Vì đường thẳng d đi qua M song song với BC cắt AC tại N nên MN // BC.

$\Rightarrow \widehat{NMA}=\widehat{ABC}$ (hai góc so le trong)

Xét tam giác AMN và tam giác ABC có:

$\widehat{NMA}=\widehat{ABC}$ (chứng minh trên)

AM = AB (giả thuyết)

$\widehat{BAC}=\widehat{MAN}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó: $\Delta ABC=\Delta AMN$  (g – c – g).

b) Vì $\Delta ABC=\Delta AMN$ $\Rightarrow AC=AN$ (hai cạnh tương ứng)

Mà ba điểm A, N, C thẳng hàng

Nên A là trung điểm của NC.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 7 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức Tổng ba góc trong một tam giác chi tiết

Công thức tính góc ngoài tam giác hay, chi tiết

Tính chất tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông cân đầy đủ, chi tiết

Định lý Py-ta-go và định lý Py-ta-go đảo đầy đủ, chi tiết

Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông đầy đủ, chi tiết