Đồ thị hàm số y = ax lớp 7 và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 7

Đồ thị hàm số y = ax lớp 7 và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 7

I. LÝ THUYẾT:

1.Đồ thị hàm số y = f(x):

- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x, y) trên mặt phẳng tọa độ.

Ví dụ: Hàm số y = f (x) cho bởi bảng sau:

x	–2	–1	0	1	2
y = f (x)	2	2	1	–1	–2

 Đồ thị gồm các điểm A, B, C, D, E trên mặt phẳng tọa độ.

2. Đồ thị của hàm số y = ax (a ≠ 0).

Đồ thị của hàm số y = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

Vì đồ thị của hàm số y = ax là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ nên khi vẽ ta chỉ cần xác định thêm một điểm A (khác điểm gốc O) thuộc đồ thị thì đường thẳng OA là đồ thị cần vẽ.

Ví dụ: Đồ thị hàm số y = 2x đi qua hai điểm O (0; 0) và A (1; 2)

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 5.1: Vẽ đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0).

1. Phương pháp giải:

- Đồ thị của hàm số y = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

- Ta lấy x bất kỳ khác 0, tìm y để xác định tọa độ điểm thứ 2 mà đồ thị đó đi qua.

- Vẽ đường thẳng đi qua điểm O và điểm vừa vẽ đó ta được đồ thị cần tìm.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số$y=\frac{1}{3}x$ và $y=-\frac{1}{3}x$

Giải:

+ Với x = 3 ta được y = 1; điểm A(3; 1) thuộc đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{3}x$

Vậy đường thẳng OA là đồ thị hàm số $y=\frac{1}{3}x$

+ Với x = 3 ta được y = –1; điểm B(3; –1) thuộc đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{3}x$

Vậy đường thẳng OB là đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{3}x$

Ta vẽ được các đồ thị hàm số đã cho trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Dạng 5.2: Xét xem một điểm có thuộc đồ thị hàm số cho trước hay không.

1. Phương pháp giải:

Để xét xem một điểm có thuộc đồ thị của một hàm số cho trước hay không, ta chỉ cần xét xem tọa độ của điểm đó có thỏa mãn công thức (hay bảng giá trị) xác định của hàm số đó hay không.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2: Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = x² – 1.

A(–3; –8), B(1, 0), C(4, –5),$D\left(\frac{1}{2};\frac{-3}{4}\right).$

Giải:

Ta có y = x² – 1.

+ Với A(–3; –8) thì y = (–3)² – 1 = 8 ≠ –8 nên điểm A không thuộc đồ thị hàm số.

+ Với B(1, 0) thì y = 1² – 1 = 0 nên điểm B thuộc đồ thị hàm số.

+ Với C(4, –5) thì y = 4² – 1 = 15 ≠ –5 nên điểm C không thuộc đồ thị hàm số.

+ Với $D\left(\frac{1}{2};\frac{-3}{4}\right)$ thì $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-1=\frac{-3}{4}$ nên điểm D thuộc đồ thị hàm số.

Vậy những điểm thuộc đồ thị hàm số y = x² – 1 là A(–3; –8) và $D\left(\frac{1}{2};\frac{-3}{4}\right).$

Dạng 5.3: Tìm hệ số a của đồ thị hàm số y = ax khi biết đồ thị hàm số đi qua một điểm cho trước.

1. Phương pháp giải:

Thay tọa độ của điểm M: x = x₀; y = y₀ vào y = ax. Từ đó ta xác định được a.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Đồ thị hàm số y = ax đi qua điểm A(–1; 2).

a) Hãy xác định a.

b) Tìm điểm B thuộc đồ thị hàm số và có hoành độ bằng 1.

c) Tìm điểm C thuộc đồ thị hàm số và có tung độ bằng 4.

Giải:

a) Ta có A(–1; 2) thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ điểm A thỏa mãn y = ax.

Tức là 2 = a.(–1) suy ra $a=\frac{2}{-1}=-2$

Vậy a = –2.

b) Với a = – 2, ta có y = – 2x.

Điểm B thuộc đồ thị hàm số và có hoành độ bằng 1, tức là x = 1

Suy ra y = –2x = –2.1 = –2.

Vậy B(1; –2) thuộc đồ thị hàm số và có hoành độ bằng 1.

c) Điểm C thuộc đồ thị hàm số và có tung độ bằng 4, tức là y = 4

Suy ra $x=\frac{y}{-2}=\frac{4}{-2}=-2$  

Vậy C(–2 ; 4) thuộc đồ thị hàm số và có tung độ bằng 4.

Dạng 5.4: Tìm giao điểm của hai đồ thị.

1. Phương pháp giải:

Tìm giao điểm của hai đồ thị y = f (x) và y = g(x).

Xét hoành độ giao điểm của hai đồ thị thỏa mãn f (x) = g(x), ta tìm được x; y và suy ra giao điểm.

Chú ý:

- Tìm giao điểm của đồ thị với Ox: cho y = 0 suy ra x.

- Tìm giao điểm của đồ thị với Oy: cho x = 0 suy ra y.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 4: Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x) = 2x – 1 và y = g(x) = x + 3. Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số trên.

Giải:

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị thỏa mãn: 2x – 1 = x + 3, suy ra x = 4.

Với x = 4 thì y = x + 3 = 4 + 3 = 7.

Vậy giao điểm của hai đồ thị hàm số trên là A(4; 7).

Dạng 5.5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

1. Phương pháp giải:

Cách 1: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta lập tỉ số $\frac{x}{y}$ , nếu chúng có cùng một hệ số tỉ lệ thì ba điểm đó cùng thuộc một đồ thị hàm số nên chúng thẳng hàng, ngược lại thì ba điểm không thẳng hàng.

Cách 2: Chứng minh một điểm thuộc đường thẳng đi qua hai điểm còn lại thì ba điểm đó thẳng hàng.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 5: Cho A(3; 4),$B\left(2;\frac{8}{3}\right),C\left(-1;\frac{-4}{3}\right).$  Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Ta có:$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}=\frac{2}{\frac{8}{3}}=\frac{-1}{\frac{-4}{3}}\left(=\frac{3}{4}\right)$$\Rightarrow y=\frac{4}{3}x$ .

Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng vì cùng thuộc đồ thị hàm số y =$\frac{4}{3}$ x.

Cách 2: Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ta chứng minh ba điểm này cùng nằm trên một đường thẳng.

Trong chương trình sách giáo khoa toán lớp 7, chúng ta chỉ học đồ thị hàm y = ax (a ≠ 0) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O.

Đối với bài này, ta tìm đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Sau đó, chứng minh điểm C thuộc đường thẳng đi qua hai điểm A và B.

Trình bày:

Gọi đường thẳng đi qua hai điểm A và B có dạng y = ax (a ≠ 0).

+ Với A(3; 4) ta có 3a = 4, suy ra $a=\frac{4}{3}$

+ Với $B\left(2;\frac{8}{3}\right)$ ta có $2a=\frac{8}{3}$ , suy ra $a=\frac{4}{3}$

Do đó, đường thẳng $y=\frac{4}{3}x$ đi qua hai điểm A, B và đường thẳng này cũng đi qua gốc tọa độ O.

Với $C\left(-1;\frac{-4}{3}\right)$ thì $\frac{4}{3}.(-1)=-\frac{4}{3}$ nên điểm C thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{4}{3}x$

Hay điểm C thuộc đường thẳng đi qua hai điểm A và B.

Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Dạng 5.6: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc.

1. Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng y = f(x) = ax, y = g(x) = bx (a, b ≠ 0). Hai đường thẳng này đều đi qua gốc tọa độ nên chúng sẽ không song song với nhau.

Ta có các trường hợp sau:

- Hai đường thẳng cắt nhau khi a ≠ b

- Hai đường thẳng vuông góc khi a.b = –1

- Hai đường thẳng trùng nhau khi a = b.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng y = (2a – 1).x và y = 3x. Tìm a để:

a) Hai đường thẳng cắt nhau.

b) Hai đường thẳng vuông góc với nhau.

c) Hai đường thẳng trùng nhau.

Giải:

a) Trong trường hợp 2a – 1 = 0 thì đường thẳng y = 0 là trục hoành Ox sẽ luôn cắt đường thẳng y = 3x vì đường thẳng này đi qua gốc tọa độ O.

Hai đường thẳng cắt nhau khi 2a – 1 ≠ 3$\iff$  a ≠ 2.

Vậy để hai đường thẳng đã cho cắt nhau thì a ≠ 2.

c) Hai đường thẳng trùng nhau khi 2a – 1 = 3$\iff$ a = 2.

Kết hợp với điều kiện $a\ne \frac{1}{2}$ , suy ra a = 2 thỏa mãn.

Vậy để hai đường thẳng đã cho trùng nhau thì a = 2.

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Trục Ox trên hệ tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số nào?

A. y = –x                                 

B. y = x

C. y = 0                                  

D. x = 0

Bài 2: Cho hàm số y = ax (a ≠ 0) đường nào sau đây có thể là đồ thị của hàm số sau.

A. Đường thẳng a

B. Đường thẳng b

C. Đường cong c

D. Đường thẳng a và b.

Bài 3: Vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{-1}{3}x.$

Bài 4: Đồ thị hàm số y = ax đi qua điểm A(–1; 5).

a) Hãy xác định a.

b) Các điểm B(–2; 2), C(2; –10) có thuộc đồ thị hàm số trên không?

c) Tìm điểm D thuộc đồ thị hàm số và có tung độ bằng 3.

Bài 5: Cho hàm số y = 5x và các điểm A(1; 2), B(2; 10), C(–2; 10);$D\left(\frac{-1}{5};-1\right).$  Những điểm nào thuộc đồ thị hàm số đã cho?

Bài 6: Vẽ đồ thị hàm số y = |x|.

Bài 7: Trong hệ trục tọa độ Oxy,  các điểm sau đây nằm trên đường nào?

a) Các điểm có hoành độ –3,5.

b) Các điểm có tung độ $2\frac{1}{4}.$

c) Các điểm có hoành độ bằng tung độ.

d) Các điểm có hoành độ và tung độ đối nhau.

Bài 8: Tìm tọa giao điểm của đồ thị hàm số y = 3x và đồ thị $y=\frac{1}{3x}.$

Bài 9: Cho A(5; 2),$B\left(-1;\frac{-2}{5}\right),C\left(m;\frac{1}{5}\right).$  Tìm m để ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Bài 10: Cho hai đường thẳng y = (3m – 1).x và y =2x. Tìm m để:

a) Hai đường thẳng cắt nhau.

b) Hai đường thẳng vuông góc với nhau.

c) Hai đường thẳng trùng nhau.

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Đáp án: C.

Bài 2: Đáp án: A.

Bài 3:

Bài 4:

a) a = –5

b) B không thuộc đồ thị hàm số, C thuộc đồ thị hàm số.

c)$D\left(\frac{-3}{5};3\right).$

Bài 5: Điểm B(2; 10),$D\left(\frac{-1}{5};-1\right)$ thuộc đồ thị hàm số y = 5x.

Bài 6: Ta có $y=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{c}x(x\ge 0)\\ -x(x<0)\end{array}\right.$

Bài 7:

a) x = –3,5

b)$y=2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$  

c) y = x

d) y = –x.

Bài 8: Hoành độ giao điểm phải thỏa mãn điều kiện:

$\begin{array}{l}3x=\frac{1}{3x}(x\ne 0)\Rightarrow {\left(3x\right)}^2=1\Rightarrow 9x^2=1\\ \Rightarrow x^2=\frac{1}{9}\Rightarrow x=\pm \frac{1}{3}\end{array}$

Tọa độ giao điểm $A\left(\frac{-1}{3};-1\right);B\left(\frac{1}{3};1\right).$

Bài 9:

Vậy để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì $m=\frac{1}{2}.$

Bài 10:

a) m ≠ 1.

b) $m=\frac{1}{6}.$

c) m = 1.