Cách nhận biết Hai đường thẳng vuông góc và cách giải – Toán lớp 7

I. LÝ THUYẾT:

1. Định nghĩa: Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau và một trong các góc tạo thành là góc vuông.

$xx\text{'}\perp yy\text{'}$ (tại O) $\iff$ $\widehat{xOy}={90}^o.$

2. Tính duy nhất của đường vuông góc: Qua một điểm cho trước, có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

3. Đường trung trực của đoạn thẳng: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

Nếu xy là đường trung trực của AB thì $\left\{\begin{array}{l}d\cap AB=\text{{I}}\\ AI=IB\\ d\perp AB\end{array}\right.$

Lưu ý: $d\cap AB=\text{{}I\text{}}$  có nghĩa là d cắt AB tại I.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 2.1: Hoàn thành một câu phát biểu hoặc chọn câu trả lời đúng.

1. Phương pháp giải:

- Liên hệ với các kiến thức lí thuyết tương ứng trong sách giáo khoa để điền vào chỗ trống cho đúng hoặc chọn câu phát biểu đúng.

- Dùng hình vẽ để bác bỏ câu sai.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?

a) Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau.

b) Hai đường thẳng cắt nhau thì vuông góc.

Giải:

a) Đúng. Vì theo lý thuyết ta có định nghĩa “Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau và một trong các góc tạo thành là góc vuông”.

b. Sai. Vì như hình vẽ bên dưới thì hai đường thẳng d và d’ cắt nhau nhưng hai đường thẳng này không vuông góc với nhau.

Dạng 2.2: Vẽ đường thẳng vuông góc, vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng.

1. Phương pháp giải: Dùng eke, thước chia khoảng để vẽ.

- Vẽ hai đường thẳng vuông góc: dùng eke và thước thẳng để vẽ hai đường thẳng vuông góc.

- Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB cho trước:

+ Vẽ đoạn thẳng AB.

+ Xác định trung điểm I của đoạn thẳng AB.

+ Kẻ một đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại I.

Ta có d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB = 6cm, hãy vẽ đường trung trực của đoạn thẳng đó và nêu cách vẽ.

Giải:

Cách vẽ:

- Dùng thước có chia khoảng vẽ đoạn thẳng AB = 6cm.

- Vẽ trung điểm I của AB bằng cách lấy I sao cho AI = 3cm.

- Dùng eke vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại I.

Đường thẳng d chính là đường trung trực của AB.

Dạng 2.3: Nhận biết hai đường thẳng vuông góc, nhận biết đường trung trực của một đoạn thẳng.

1. Phương pháp giải:

- Dùng định nghĩa hai đường thẳng vuông góc, định nghĩa đường trung trực của một đoạn thẳng.

- Ta thừa nhận tính chất: Có một và chỉ một đường thẳng a' đi qua điểm O cho trước và vuông góc với đường thẳng a cho trước.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Cho $\widehat{AOB}$ vuông, hai tia OC, OD ở trong góc đó sao cho $\widehat{AOC}=\widehat{BOD}={60}^o$. Trên nửa mặt phẳng bờ OA chứa tia OB vẽ tia OE sao cho OB là tia phân giác của $\widehat{DOE}$. Chứng minh: $OC\perp OE.$

Giải:

Ta có:  $\widehat{AOC}+\widehat{BOC}=\widehat{AOB}={90}^o.$

 $\Rightarrow \widehat{BOC}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}={90}^o-{60}^o={30}^o$ (1)

Vì OB là tia phân giác của nên:

$\widehat{BOD}=\widehat{BOE}={60}^o$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\widehat{COE}=\widehat{BOC}+\widehat{BOE}={30}^o+{60}^o={90}^o.$

Do đó $OC\perp OE.$

Dạng 2.4: Tính số đo của góc.

1. Phương pháp giải:

Chú ý đến góc tạo bởi hai đường thẳng vuông góc bằng 90^o.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 4: Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA, vẽ các tia OB và OC sao cho $\widehat{AOB}={70}^o,$  OC vuông góc với OA. Tính số đo $\widehat{BOC}.$

Giải:

Vì $OC\perp OA$ nên $\widehat{AOC}={90}^o.$

Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA có: $\widehat{AOB}<\widehat{AOC}\left(70°<90°\right)$ nên tia OB nằm giữa tia OA và tia OC.

Nên ta có: $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=\widehat{AOC}={90}^o.$

$\Rightarrow \widehat{BOC}={90}^o-\widehat{AOB}={90}^o-{70}^o={20}^o.$

Vậy $\widehat{BOC}={20}^o.$

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một đường trung trực vì:

A. Chỉ kẻ được một đường duy nhất vuông góc với đoạn thẳng đó.

B. Chỉ kẻ được một đường thẳng duy nhất vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

C. Chỉ kẻ được một đường thẳng duy nhất qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

D. Độ dài đoạn thẳng là xác định.

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB = 5cm, đường trung trực d của đoạn thẳng AB cắt AB tại M. Độ dài đoạn MA và MB là:

A. MA = MB = 5cm.

B. MA = MB = 2,5cm.

C. MA = 5cm, MB = 0cm.

D. MA = 0cm, MB = 5cm.

Bài 3: Cho đường thẳng d và điểm O, hãy vẽ đường thẳng d’ qua O và vuông góc d (trong hai trường hợp O thuộc d và O không thuộc d).

Bài 4: Biết hai góc kề bù có số đo bằng nhau. Tính số đo mỗi góc.

Bài 5: Cho góc $\widehat{AOB}={120}^o$, ở phía ngoài góc đó dựng các tia OC, OD theo thứ tự vuông góc với các tia OA, OB. Tính số đo góc $\widehat{DOC}$ .

Bài 6: Cho AA’ cắt BB’ tại O, $\widehat{AOB}$ là góc tù, ở ngoài góc đó dựng  tia OC vuông góc tia OA. Biết $\widehat{COB\text{'}}={50}^o$. Tính số đo $\widehat{AOB}$ .

Bài 7: Vẽ $\widehat{xOy}={50}^o.$ Lấy điểm A không nằm trên Ox, Oy. Qua A vẽ các đường thẳng lần lượt vuông góc Ox, Oy.

Bài 8: Cho hai góc kề bù $\widehat{AOC}$ và $\widehat{BOC}$. Gọi OM là tia phân giác của $\widehat{AOC}$. Kẻ tia ON vuông góc với OM (tia ON nằm trong $\widehat{BOC}$). Tia ON là phân giác của góc nào? Vì sao?

Bài 9: Cho góc vuông $\widehat{AOB}$, hai tia OC, OD ở trong góc đó sao cho $\widehat{AOC}=\widehat{BOD}$. Biết $\widehat{COD}={50}^o.$Tính số đo các góc $\widehat{AOD}$  và $\widehat{BOC}$.

Bài 10: Cho góc vuông $\widehat{AOB}$, hai tia OC, OD ở trong góc đó sao cho $\widehat{AOC}=\widehat{BOD}$. Biết $\widehat{AOC}={15}^o$ Kẻ OE là phân giác của $\widehat{COD}$. Kẻ OF sao cho OB là phân giác của $\widehat{EOF}$. Chứng minh $OE\perp OF$ .

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Đáp án: B

Bài 2: Đáp án: B

Bài 3:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Bài 4:

Giả sử hai góc kề bù là $\widehat{xOy}$ và $\widehat{xOy\text{'}}.$

Vì  $\widehat{xOy}=\widehat{xOy\text{'}}$

$\Rightarrow \widehat{xOy}=\widehat{xOy\text{'}}=\frac{{180}^o}{2}={90}^o.$

Bài 5:

$\widehat{AOB}+\widehat{COD}={360}^o-\widehat{AOC}-\widehat{BOD}={180}^o.$

$\widehat{COD}={180}^o-\widehat{AOB}={180}^o-{120}^o={60}^o.$

Bài 6:

 $\widehat{AOB\text{'}}=\widehat{AOC}-\widehat{B\text{'}OC}={90}^o-{50}^o={40}^o.$

$\widehat{AOB}={180}^o-\widehat{AOB\text{'}}={180}^o-{40}^o={140}^o.$

Bài 7:

Trường hợp 1: A nằm trong $\widehat{xOy}$.

Trường hợp 2: A nằm ngoài góc $\widehat{xOy}.$

Bài 8:

 ${\widehat{O}}_3={90}^o-{\widehat{O}}_2.$

${\widehat{O}}_4={180}^o-\widehat{MON}-{\widehat{O}}_1={90}^o-{\widehat{O}}_1.$

Do ${\widehat{O}}_1={\widehat{O}}_2\Rightarrow {\widehat{O}}_3={\widehat{O}}_4.$

Bài 9:

Trường hợp 1:

Ta có:  $\widehat{AOC}+\widehat{BOD}={90}^o-{50}^o={40}^o$

$\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{BOD}=\frac{{40}^o}{2}={20}^o$

$\widehat{AOD}=\widehat{BOC}={20}^o+{50}^o={70}^o$

Trường hợp 2:

Ta có $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}=\frac{{90}^o-{50}^o}{2}={20}^o$

Bài 10:

$\widehat{AOC}=\widehat{BOD}={15}^o$.

$\widehat{COD}={90}^o-\widehat{AOC}-\widehat{BOD}={90}^o-{15}^o-{15}^o={60}^o$.

$\widehat{EOD}=\frac{{60}^o}{2}={30}^o$.

$\widehat{EOB}={30}^o+{15}^o={45}^o$. 

$\widehat{EOF}=2\widehat{EOB}={2.45}^o={90}^o$

Vậy $OE\perp OF$ .

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Cách xác định góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song và cách giải các dạng bài tập

Tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song và cách giải các dạng bài tập

Liên hệ giữa đường thẳng vuông góc và đường thẳng song song và cách giải bài tập