Số phức là gì? Phép cộng và phép trừ số phức. Các dạng bài tập số phức và cách giải

Số phức là gì? Các dạng bài tập số phức và cách giải

I. Số phức là gì?

Số phức là số có thể viết dưới dạng a+ bi trong đó a và b là các số thực là đơn vị ảo với $i^{2 }=-1$

Trong biểu thức này, số a được gọi là phần thức, b gọi là phần ảo của số phức. Số phức có thể được biểu diễn trên mặt phẳng phức với trục hoành là trục thực và trục tung là trục ảo, do đó một số phức a + bi được xác định bằng một điểm có tọa độ (a, b)

Một số phức nếu có phần thực bằng không thì gọi là số thuần ảo, nếu có phần ảo bằng không thì trở thành số thực. Việc mở rộng số phức để giải những bài toán mà không thể giải trong trường số thực

Ví dụ: Số phức:

2 + 3i thì phần thực là 2; phần ảo là 3

4.4 = 4.4 + 0i thì trong trường hợp này có hệ số b của đơn vị ảo bằng 0

Vậy ta có thể thấy rằng số phức là trường hợp tổng quát hơn của số thức. Số thực là 1 trường hợp cụ thể của số phức (khi b =0).

II. Phân loại số phức

1. Số phức liên hợp

Định nghĩa: Số phức liên hợp có dạng: z = a + bi trong đó số phức

$\overline{z}$ = a+bi được gọi là số phức liên hợp của z

Số phức liên hợp có 1 số tính chất như sau:

Zx$\overline{Z}$ = a² + b² là một số thực

Z + $\overline{Z}$= 2a là một số thực

$\overline{Z}$+ $\overline{Z\text{'}}$ = $\overline{Z+Z\text{'}}$

2. Số phức nghịch đảo

Có thể nói, số phức nghịch đảo hay nghịch đảo của số phức Z kí hiệu là Z ^-1 là số phức có dạng sao cho tích của số phức nghịch đảo với số phức Z bằng 1

- Số phức dạng nghịch đảo của Z = a +bi là số phức Z ^-1 = $\frac{1}{Z}$ + $\frac{1}{X}$ +bi

Số nghịch đảo của Z = a +bi khác 0 là số Z ^-1 = $\frac{1}{Z}$ = $\frac{\overline{Z}}{\left|Z^2\right|}$

3. Số phức thuần ảo

Định nghĩa: Số phức thuần ảo là khi có phần thực a = 0 thì Z = bi thuộc R. Khi đó thì Z được gọi là số thuần ảo

4. Modun số phức

Modun của số phức Z = a +bi là độ dài của vecto u (a, b) biểu diễn số phức đó.

Theo định nghĩa khác thì số phức của modun Z = a +bi trong đó a,b thuộc R là căn bậc hai của số học của a2 + b2

Ví dụ: 3 +4i = 25

3 +4i = 5

Ta dễ dàng thấy trị tuyệt đối của số thực cũng chính là modun của số thực đó. DO đó thì đôi khi ta cũng có thể gọi là modun của số phức là trị tuyệt đối của số phức.

Về mặt hình học thì mỗi số phức Z = a +bi với a,b thuộc R được biểu diễn bởi một điểm M (z) = (a, b) trên mặt phẳng O (xy) và ngược lại. Khi đó thì modun của Z được biểu diễn bởi độ dài đoạn thẳng OM (z). Modun của z là một số thực không âm và nó chỉ bằng 0 khi z = 0

5. Argument của số phức

Để hiểu về Argument của số phức giả sử ta có M(z) là điểm biểu diễn số phức z. Arg (z) là góc định hướng giữa chiều dương của trục thực và tia OM (z) thỏa mãn −n < Arg(z) $\le$ n.

Vậy nên rõ ràng nếu z = a + bi (a, b $\in$ R) thì Arg(z) = Arctan (b/a)

III. Phép cộng, trừ và nhân hai số phức

a) Phép cộng hai số phức

Tổng của hai số phức $z=a+bi;z^{\prime }=a^{\prime }+b^{\prime }i\left(a;a^{\prime };b;b^{\prime }\in \mathbb{R}\right)$ là số phức $z+z^{\prime }=a+a^{\prime }+\left(b+b^{\prime }\right)i$.

Một số tính chất của phép cộng số phức

* Tính chất kết hợp: $\left(z_1+z_2\right)+z_3=z_1+\left(z_2+z_3\right),\mathrm{\forall }{z}_1;z_2;z_3\in \mathbb{C}$.

* Tính chất giao hoán: $z+z^{\prime }=z^{\prime }+z,\mathrm{\forall }{z}^{\prime },z\in \mathbb{C}$

* Cộng với 0: $z+0=0+z=z,\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C}$.

* Với mỗi số phức $z=a+bi\left(a;b\in \mathbb{R}\right)$ nếu kí hiệu số phức $-a-bi$là $-z$ thì ta có:

$z+\left(-z\right)=\left(-z\right)+z=0$

Số $-z$ được gọi là số đối của số phức $z$.

b) Phép trừ hai số phức

Hiệu của hai số phức $z$ và $z^{\prime }$ là tổng của $z$ và $-z^{\prime }$, tức là $z-z^{\prime }=z+\left(-z^{\prime }\right)$

Nếu $z=a+bi;z^{\prime }=a^{\prime }+b^{\prime }i$ thì $z-z^{\prime }=a-a^{\prime }+\left(b-b^{\prime }\right)i$.

Bài tập: $\left(4+5i\right)-\left(1+2i\right)=\left(4-1\right)+\left(5-2\right)i=3+3i$.

c) Phép nhân hai số phức

Tích của hai số phức $z=a+bi$ và $z^{\prime }=a^{\prime }+b^{\prime }i\left(a;a^{\prime };b;b^{\prime }\in \mathbb{R}\right)$ là số phức:

$z{z}^{\prime }=\left(a+bi\right)\left(a^{\prime }+b^{\prime }i\right)=a{a}^{\prime }+\left(a{b}^{\prime }+b^{\prime }a\right)i+b{b}^{\prime }{i}^2=\left(a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime }\right)+\left(a{b}^{\prime }+a^{\prime }b\right)i$.

Biến đổi tương tự như trên ta có:

· $z^2={\left(a+bi\right)}^2=a^2+2abi+{\left(bi\right)}^2=a^2-b^2+2abi$

· $z^3={\left(a+bi\right)}^3=a^3+3a^{2}bi+3a{\left(bi\right)}^2+{\left(bi\right)}^3=a^3-3a{b}^2+\left(3a^{2}b-b^3\right)i$.

· ${\left(1+i\right)}^2=2i;{\left(1-i\right)}^2=-2i$.

Một số tính chất của phép nhân hai số phức:

* Tính chất giao hoán: $z{z}^{\prime }=z^{\prime }z,\mathrm{\forall }z;z^{\prime }\in \mathbb{C}$.

* Tính chất kết hợp: $\left(z_1{z}_2\right)z_3=z_1\left(z_2{z}_3\right),\mathrm{\forall }{z}_1;z_2;z{}_3\in \mathbb{C}$.

* Nhân với 1: $1.z=z.1,\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C}$.

* Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $z\left(z_1+z_2\right)=z{z}_1+z{z}_2,\mathrm{\forall }z;z_1;z_2\in \mathbb{C}$.

IV. Một số dạng bài tập cơ bản về số phức

Dạng 1: Các dạng quỹ tích đơn giản căn bản

Đường thẳng: Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x +yi là đường thẳng nếu như M (x;y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường thẳng: Ax +By + C = 0

Đường tròn: Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường tròn nếu như M(x; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường tròn (C) : (x - a) 2 + (b -y) 2 = R2. Trong đó thì I (a; b) là tâm đường trong và R là bán kính đường tròn.

Đường elip: quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x +yi là đường elip nếu như M(x; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường elip (E): x2/a2 + y2/b2 = 1 trong đó thì a,b tương ứng với các bán trục lớn và bán trục nhỏ của elip

Dạng 2: Các dạng bài tập tìm phần thực hoặc tìm phần ảo của số phức

Ta biến đổi số phức đã cho thành z = a + bi trong đó thì a và b là các số thực. Khi đó a là phần thực của z, còn b là phần ảo của z. Chú ý các bài toán về số phức mà hỏi về phần ảo người ta hay có phương án nhiễu nhiều.

Dạng 3: Dạng bài tập có số phức mũ cao

Cách tính số phức mũ cao là sử dụng dạng lượng giác hoặc dạng mũ của số phức. Với dạng lượng giác của số phức ta áp dụng công thức sau:

Dạng 4: Các dạng bài tập số phức liên quan đến phương trình bậc 2 với hệ số thực

Với phương trình bậc 2 hệ số thực trên tập số phức ta chia làm 2 nhóm: Nhóm bài tập liên quan đến việc tìm nghiệm và nhóm các bài tập liên quan đến định lý viet. Thông thường với phương trình không có tham số ta sử dụng máy tính bỏ túi để tính ra kết quả, còn nếu có tham số thì ta tính delta và thay vào công thức nghiệm hoặc sử dụng định lý viet

V. Bài tập vận dụng

Câu 1: Xác định phần thực và phần ảo của các số phức sau:

a. z = -3 + 5i

b. z = 12

c. z =( 4 -i) + (2 +3i)

d. z = (2 + i) - (1 +4i)

e. z = (11 - 6i) - (2 - 4i)

f. z = (1 + i) 2 - (1 -i) 2

g. z =( 11 - 6i) - (2 -i)

Câu 2: Tìm các số thực x, y biết:

a. (2x + 1) + 5i = -4 + (3y -2)i

b. ( x -2) - 4i = 3 -( y _ i)

Câu 3: Viết các số phức liên hợp sau của mỗi số phức và tính module của chúng

a. z = 2 - 5i

b. z = 7i

c. x = 6 +i

d. z = 4 -i

Câu 4: Viết các số phức sau dưới dạng đại số

a. z = 1/ (i +1) + ( 4 -3i)

b. z = 1 / 2 -3i

c, z = 3=4i/ 4-i

d. a = 1 / 2-3i

Câu 5: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:

a. phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó

b. phần thực của z thuộc đoạn [ -2; 1]

c. phần thực của z thuộc đoạn [-2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]

Câu 6: Cho số phức z = a + bi. Hỏi a, b phải thỏa mãn điều kiện gì để

a. Điểm biểu diễn chứng minh nằm trong dải giữa 2 đường thẳng x = -2 và x =2