Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách tính diện tích xung quanh hình nón

Diện tích xunh quanh hình nón

1. Phương pháp giải

Cho hình nón (H) có bán kính đường tròn đáy là R và độ dài đường sinh là l.

+ Diện tích xung quanh của hình nón bằng nửa tích số của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh:
S_xq = πR.l

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S; O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60⁰.Tính diện tích xung quanh của hình nón ?

Hướng dẫn giải:

Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón.

Theo giải thiết ta có đường sinh SA = a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là
= 60⁰ .

Trong tam giác vuôn SAO, ta có:

Diện tích xung quanh hình nón là:
S_xq = πRl = π. .a√2 = πR²

Chọn A

Ví dụ 2. Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2πa² . Thể tích khối nón là:

A. B. C. 2πa³ D. √2πa³

Hướng dẫn giải:

Ta có độ dài đường sinh là l = 2a .

Do diện tích xung quanh là 2πa² nên :

S_xq = π.R.l = 2πa² ⇒ R = = a

Chiều cao của hình nón là:
h = = √3a

Chọn A.

Ví dụ 3. Cắt hình nón (N) bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón được thiết diện là một tam giác vuông cân có diện tích bằng 3a2. Diện tích xung quanh của (N) là:

A. 6πa² B. √2πa² C. 6√2πa² D. 3√2πa²

Hướng dẫn giải:

Do cắt hình nón (N) bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón nên thiết diện qua trục là mặt phẳng (SAB) – với AB là đường kính của đường tròn đáy.

Theo giả thiết tam giác SAB là tam giác vuông cân tại S và có diện tích 3a² nên

S_ABC = SA² = 3a² ⇒ SA = √6a

Khi đó, độ dài đường sinh của hình nón là

l = SA = √6a

Do tam giác SAB là tam giác vuông cân tại S nên
AB = SA.√2 = √6a.√2 = 2√3a

Suy ra, đường cao của hình nón là:

h = SO = AB/2 = √3a

Bán kính đường tròn đáy là R = AB/2 = a√3 .

Diện tích xung quanh của (N) là:

S_xq = π.R.l = π.a√3.a.√6 = 3√2πa²

Chọn D

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 khác:

• Phương pháp xác định mặt cầu (cực hay)
• Phương pháp tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu (cực hay)