Số tự nhiên là gì?

Số tự nhiên

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Số tự nhiên còn được gọi là số đếm vì chúng không bao gồm số 0 hoặc số âm. Chúng là một phần của số thực chỉ bao gồm các số nguyên dương, nhưng không bao gồm số 0, phân số, số thập phân và số âm .

2. Tính chất

Số tự nhiên nhỏ nhất là số 1.

- Số 0 không phải là số tự nhiên

- Các số tự nhiên lẻ là các số lẻ và thuộc tập N. Vậy tập các số tự nhiên lẻ là {1,3,5,7, ...}.

- Các số tự nhiên chẵn là các số chẵn, chính xác chia hết cho 2 và thuộc tập N. Vậy tập hợp các số tự nhiên chẵn là {2,4,6,8, ...}.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho các chữ số: 0; 1; 2; 3. Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau.

Giải

- Hàng ngàn có 3 cách chọn (khác 0)

- Hàng trăm có 3 cách chọn

- Hàng chục có 2 cách chọn

- Hàng đơn vị có 1 cách chọn

Số có 4 chữ số khác nhau có: 3 x 3 x 2 x 1 = 18 (số)

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5

Giải

Số chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.

* Tận cùng bằng 0:

- Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị (là 0)

- Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm.

- Có 8 cách chọn chữ số ngành chục.

Vậy có: 1 x 9 x 8 = 72 (số)

* Tận cùng bằng 5:

- Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị (là 5).

- Có tám cách chọn chữ số hàng trăm (khác 0 và 5)

- Có 8 cách chọn chữ số hàng chục.

Vậy có: 1 x 8 x 8 = 64 (số)

Có tất cả: 72 + 64 = 136 (số)

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5.

a) Có thể lập được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà mỗi số chia hết cho 5?

b) Tính tổng các số vừa lập được.

Giải

a). Để chia hết cho 5 thì hàng đơn vị phải là 5

Có 4 cách chọn hàng nghìn

Có 3 cách chọn hàng trăm

Có 2 cách chọn hàng chục

Vậy có tất cả: 1 x 4 x 3 x 2 = 24 (số)

b) Có 24 số nên ở các hàng: nghìn, trăm, chục thì các chữ số 1; 2; 3; 4 đều xuất hiện 24 : 4 = 6 (lần). Riêng chữ số 5 xuất hiện 24 lần ở hàng đơn vị.

Tổng 24 số trên là:

(1 + 2 + 3 + 4) x 6 x 1000 + (1 + 2 + 3 + 4) x 6 x 100 + (1 + 2 + 3 + 4) x 6 x 10 + 5 x 24 = 67 720

Bài 2: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5

Giải

- Nếu chữ số 0 đứng hàng đv thì có 9 lựa chọn hàng trăm và 8 lựa chọn hàng chục.

- Nếu chữ số 5 đứng hàng đv thì có 8 lựa chọn hàng trăm và có 8 lựa chọn hàng chục.

Tổng các số là : 9 x 8 + 8 x 8 = 136 (số)

Bài 3: Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5.

a) Có thể lập được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà mỗi số chia hết cho 5?

b) Tính tổng các số vừa lập được

Giải

Chia hết cho 5 cho biết chữ số tận cùng là 5, có 1 cách chọn hàng đơn vị. Ta chọn 3 chữ số còn lại cho: nghìn, trăm, chục. 4x3x2=24.

Mỗi chữ số xuất hiện ở mỗi hàng (nghìn, trăm, chục) 24 : 4= 6 (lần)

Tổng: (1 + 2 + 3 + 4)x6x1110 + 5x24= 66720

Bài 4: Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số đều bằng 4?

Giải

Bài này vì không yêu cầu các chữ số phải khác nhau, nên dùng sơ đồ hình cây là hay nhất...từ đó có thể rút ra quy tắc cho các bài mà tổng có giá trị cao hơn.

Nhóm 1: Chữ số 4 đứng ở hàng nghìn: Lập được 1 số ( 4000)

Nhóm 2: Chữ số 3 đứng ở hàng nghìn (có 2 cách chọn chữ số hàng chục...): Lập được 3 số .

Nhóm 3: Chữ số 2 đứng ở hàng nghìn (có 3 cách chọn chữ số hàng trăm....): Lập được 6 số.

Nhóm 4: Chữ số 1 đứng ở hàng nghìn (có 4 cách chọn chữ số hàng trăm...): Lập được 10 số

Vậy lập được: 1 + 3 + 6 + 10 = 20 số.

Từ trên ta sẽ thấy " bước nhảy" các khoảng cách khi lập số là: 2; 3; 4...nếu bài toán yêu cầu tìm Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số đều bằng 5...thử nghĩ xem là bao nhiêu số?

Bài 5: Hãy cho biết trong dãy số tự nhiên liên tiếp: 1,2,3,4,...2013 có tất cả bao nhiêu chữ số 5.

Giải

* Nhóm 1 (1000 số đầu):

Từ 000; 001; 002; .........; 998; 999. Có (999- 000) + 1=1000 (số). Mỗi số có 3 chữ số.

Như vậy có 3 x 1000 = 3000 (chữ số) mà 10 chữ số (0; 1; ...; 8 ; 9)đều xuất hiện như nhau.

Vậy có 3000 : 10 = 300 (chữ số 5)

* Nhóm 2 (1000 số thứ 2):

Từ 1000; 1001; ......; 1998; 1999. Phân tích tương tự ta cũng có 300 chữ số 5.

*.Nhóm còn lại:

Từ 2000 đến 2013 chỉ có 1 chữ số 5 ở 2005.

Tất cả các chữ số 5 là: 300 + 300 + 1 = 601 (chữ số 5)

Bài 6: Hãy cho biết trong dãy số tự nhiên liên tiếp 1,2,3....2009 có tất tất cả nhiêu chữ số 0.

Giải

Để giải bài này bạn nên xét các trường hợp:

*.Chữ số 0 đứng hàng đơn vị thì cứ 10 đơn vị có 1 chữ số 0. (từ 1 đến 10)

2009 : 10 = 200 dư 9. Vì trong số dư 9 là dứ từ 1 đến 9 nên không có chữ số 0 nào trong số dư nên ta được 200 chữ số 0 đứng hàng đơn vị.

* Với chữ số 0 đứng hàng chục thì cứ 10 chục (100) chữ số 0 xuất hiện 10 lần (từ ...10 đến ...2009) (2009- 9) : 100 = 20

Chữ số 0 đứng hàng chục: 20 x 10 = 200 (chữ số)

* Chữ số 0 đứng hàng trăm thì cứ 10 trăm (1000) chữ số 0 xuất hiện 100 lần (từ 1000 đến 1999) mà (2009- 999) : 1000 = 1 (dư 10).

Dư 10, gồm các số từ 2000 đến 2009 có 10 chữ số 0 ở hàng trăm)

Số chữ số 0 đứng ở hàng trăm: 100 + 10 = 110 (chữ số)

Vậy từ 1 đến 2009 có số các chữ số 0 là: 200 + 200 + 110 = 510 (chữ số)

Bài 7: Cho T = 2 x 2 x 2 x ... x 2 x 2 (tích có 2013 thừa số 2). T có chữ số tận cùng là mấy?

Giải

Cho T = 2 x 2 x 2 x ... x 2 x 2 (tích có 2013 thừa số 2).

Tích có các thừa số đều là 2 có tính chất sau:

Cứ 4 thừa số 2 có tích tận cùng lần lượt là 2; 4; 8 và 6

Mà 2013 : 4 = 503 (nhóm) dư 1.

Cuối mỗi nhóm tích tận cùng là 6 và đầu mỗi nhóm là chữ số 2. Vậy T có số nhóm dư 1 thì chữ số tận cùng của T là 2.

Bài 8: Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số đều bằng 4 .

Giải

Chọn số 4 làm hàng nghìn thì có: 4000

Chọn số 3 làm hàng nghìn thì có: 3100; 3010; 3001

Chọn số 2 làm hàng nghìn thì có: 2200; 2020; 2002; 2110; 2101; 2011

Chọn số 1 làm hàng nghìn thì có: 1300; 1210; 1201; 1120; 1102; 1111; 1030; 1003; 1021; 1012

Có 20 số

Bài 9: Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số mà các chữ số của các số đó đều lẻ.

Bài 10: Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau mà các chữ số đều chẵn.

Bài 11: Hãy cho biết trong các số có 3 chữ số, có tất cả bao nhiêu chữ số 5?