Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Tìm m để bất phương trình có nghiệm

    Với tài liệu về Tìm m để bất phương trình có nghiệm bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 125 25/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Tìm m để bất phương trình có nghiệm

    I. Lý thuyết

    • f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \mathbb{R} . Nghĩa là \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} \right.
    • f(x) < 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \mathbb{R}. Nghĩa là \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} \right.
    • f(x) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) < 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \mathbb{R}. Nghĩa là \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.
    • f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \mathbb{R}. Nghĩa là \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.

    II. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]

    Hướng dẫn giải:

    Đặt x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0

    Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

    Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn {{x}_{1}}\le 1<2\le {{x}_{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} kf(0)\le 0 \\ kf(1)\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}+2m\le 0 \\ {{m}^{2}}-1\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow -1\le m\le 0 \right.

    Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

    Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x2 - 2mx + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm.

    Hướng dẫn giải

    Xét 3 trường hợp:

    Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

    (1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

    Bất phương trình vô nghiệm

    Trường hợp 2: Với m < -2

    Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

    Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

    \Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2>0\Leftrightarrow \left| m \right|>\sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>\sqrt{2} \\ -2 < m <-\sqrt{2} \end{matrix}\right.

    Vậy với |m| < \sqrt{2} thì bất phương trình có nghiệm.

    III. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Cho bất phương trình (m - 1)x2 + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc \mathbb{R}.

    Hướng dẫn giải

    Đặt (m - 1)x2 + 2mx - 3 = f(x)

    TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒ x > \frac{3}{2} (Loại)

    TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

    Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \\ {4{m^2} + 12m - 12 < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \in \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right)} \end{array} \Leftrightarrow m \in \emptyset } \right.} \right.

    Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \mathbb{R}.

    Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc \mathbb{R}.

    a. (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 < 0

    b. (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 > 0

    Hướng dẫn giải

    a. Đặt (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 = f(x)

    TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)

    TH2: m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3

    Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 3 < 0} \\ {{m^2} - 6m + 25 < 0} \end{array}} \right.

    Ta có: m2 - 6m + 25 = (m - 3)2 + 16 ≥ 16,∀m

    Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \mathbb{R}

    b. Đặt (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 = f(x)

    TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)

    TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

    Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \\ {{m^2} - 6m + 25 < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)} \end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)

    Vậy m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right) thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \mathbb{R}.

    Bài 3: Tìm m để bất phương trình x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]

    Hướng dẫn giải:

    Đặt x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0

    Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

    Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn {{x}_{1}}\le 1<2\le {{x}_{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} kf(0)\le 0 \\ kf(1)\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}+2m\le 0 \\ {{m}^{2}}-1\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow -1\le m\le 0 \right.

    Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

    Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x2 - 2mx + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm.

    Hướng dẫn giải

    Xét 3 trường hợp:

    Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

    (1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

    Bất phương trình vô nghiệm

    Trường hợp 2: Với m < -2

    Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

    Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

    \Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2>0\Leftrightarrow \left| m \right|>\sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>\sqrt{2} \\ -2 < m <-\sqrt{2} \end{matrix}\right.

    Vậy với |m| < \sqrt{2} thì bất phương trình có nghiệm.

    Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3 < mx + 4

    Hướng dẫn giải:

    Bất phương trình tương đương với: m2x - mx < 4 ⇔ (m2 - m)x < 1; m2 - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .

    Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

    Với m2 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành x<\frac{1}{m^{2}-m} luôn có nghiệm là x<\frac{1}{m^{2}-m}

    Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

    Bài 6: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m2 + 1)x2 + (2m - 1)x - 5 < 0

    Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

    Hướng dẫn giải:

    Ta có:\left\{ \begin{matrix}f(-1)\le 0 \\f(1)\le 0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{m}^{2}}-2m-3\le 0 \\{{m}^{2}}+2m-5\le 0 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}-1\le m\le 3 \\-\sqrt{6}\le m\le \sqrt{6}-1 \\\end{matrix} \right. \right.

    ⇔ -1 ≤ m ≤ \sqrt 6 - 1

    Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; \sqrt{6} - 1)

    Bài 7: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x2 - 2mx + 2m - 6 < 0

    Hướng dẫn giải:

    + Với m = - 4 thì bất phương trình trở thành: 8x - 14 < 0, ∀x (loại)

    + Với m\ne -4 \Rightarrow f(x) < 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta '< 0 \\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<-4 \\ {{m}^{2}}-(m+4)(2m-6)<0 \\ \end{matrix}\right.

    \Rightarrow\left\{ \begin{matrix} m<-4 \\ m\in (-\infty ,-4)\cup (6,+\infty ) \\ \end{matrix}\left\{ \begin{matrix} m<-4 \\ m\in (-\infty ,-4)\cup (6,+\infty ) \\ \end{matrix}\right. \right.\Leftrightarrow m<-4

    Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4.

    Bài 8: Cho bất phương trình: x2 + 4x + 3 + m ≤ 0

    a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.

    b. Tìm m để bất phương trình có đúng một nghiệm.

    c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

    Bài 9: Tìm m để bất phương trình: x4 + 2mx2 + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.

    Bài 10: Tìm m để bất phương trình (m + 4){x^2} - 2mx + 2m - 6 < 0 có nghiệm đúng với mọi x

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 125 25/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: