Lý thuyết, cách xác định và bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài tập hằng đẳng thức

I. Lý thuyết về hằng đẳng thức

7 hằng đẳng thức đáng nhớ:

1. ( a + b )² = a² + 2ab + b²

2. ( a - b )² = a² - 2ab + b²

3. a² - b² = ( a - b )( a + b )

4. ( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

5. ( a - b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

6. a³ + b³ = ( a + b )( a² - ab + b² )

7. a³ - b³ = ( a - b )( a² + ab + b² )

1. Bình phương một tổng

Với hai số bất kỳ ta luôn có: Bình phương một tổng sẽ bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương số thứ hai.

( a + b )² = a² + 2ab + b²

Ví dụ: Khai triển các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:

a) ( x + 2 )²

b) ( 2x + 1 )²

Hướng dẫn:

a) ( x + 2 )² = x² + 2.x.2 + 2² = x² + 4x + 4

b) ( 2x + 1 )² = ( 2x )² + 2.2x.1 + 1² = 4x² + 4x + 1

2. Bình phương một hiệu

Với hai số bất kỳ ta luôn có: Bình phương một hiệu sẽ bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương số thứ hai.

( a - b )² = a² - 2ab + b²

Ví dụ: Khai triển các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:

a) ( x - 3 )² b) ( 2x - 1 )²

Hướng dẫn:

a) ( x - 3 )² = x² - 2.x.3 + 3² = x² - 6x + 9

b) ( 2x - 1 )² = ( 2x )² - 2.2x.1 + 1² = 4x² - 4x + 1

3. Hiệu hai bình phương

Với hai số bất kỳ ta luôn có hiệu hai bình phương bằng tổng của hai số nhân với hiệu của hai số.

a² - b² = ( a - b )( a + b )

Ví dụ: Khai triển các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:

a) x² - 16 b) x² - 4y²

Hướng dẫn:

a) x² - 16 = x² - 4² = ( x - 4 )( x + 4 )

b) x² - 4y² = x² - ( 2y )² = ( x - 2y )( x + 2y )

4. Lập phương một tổng

Lập phương một tổng của hai số bất kỳ sẽ bằng lập phương số thứ nhất cộng với ba lần bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần bình phương số thứ hai nhân số thứ nhất sau đó cộng với lập phương số thứ ba.

( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo hằng đẳng thức: ( x + 2y )³

Hướng dẫn:

( x + 2y )³ = x³ + 3.x².2y + 3.x.( 2y )² + ( 2y )³

= x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³

5. Lập phương một hiệu

Lập phương một hiệu của hai số bất kỳ sẽ bằng lập phương số thứ nhất trừ đi ba lần bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần bình phương số thứ hai nhân số thứ nhất sau đó trừ đi lập phương số thứ 3.

( a - b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo hằng đẳng thức: ( x - 2y )³

Hướng dẫn:

( x - 2y )³ = x³ - 3.x².2y + 3.x.( 2y )² - ( 2y )³

= x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³

6. Tổng hai lập phương

Tổng của hai lập phương của hai số bất kỳ sẽ bằng tổng của hai số sau đó nhân với bình phương thiếu của hiệu số thứ nhất và số thứ hai.

a³ + b³ = ( a + b )( a² - ab + b² )

Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo hằng đẳng thức: x³ + 8

Hướng dẫn:

x³ + 8 = x³ + 2³ = ( x + 2 )(x² - x.2 + 2² ) = ( x + 2 )( x² - 2x + 4 )

7. Hiệu hai lập phương

Hiệu của hai lập phương của hai số bất kỳ sẽ bằng số thứ nhất trừ đi số thứ hai sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai.

a³ - b³ = ( a - b )( a² + ab + b² )

Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo hằng đẳng thức: x³ - 27

Hướng dẫn:

x³ - 27 = x³ - 3³ = ( x - 3 )(x² + x.3 + 3² ) = ( x - 3 )(x² + 3x + 9 )

II. Bài tập về hằng đẳng thức

Bài 1: Điền vào chỗ trống: A = ( 1/2x - y )² = 1/4x² - ... + y²

A. 2xy B. xy

C. - 2xy D. 1/2 xy

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức (a - b)² = a² - 2ab + b².

Khi đó ta có A = ( 1/2x - y )² = 1/4x² - 2.1/2x.y + y² = 1/4x² - xy + y².

Suy ra chỗ trống cần điền là xy.

Chọn đáp án B.

Bài 2: Điều vào chỗ trống: ... = ( 2x - 1 )( 4x² + 2x + 1 ).

A. 1 - 8x³.

B. 1 - 4x³.

C. x³ - 8.

D. 8x³ - 1.

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức a³ - b³ = ( a - b )( a² + ab + b² )

Khi đó ta có ( 2x - 1 )( 4x² + 2x + 1 ) = ( 2x - 1 )[ ( 2x )² + 2x.1 + 1 ] = ( 2x )³ - 1 = 8x³ - 1.

Suy ra chỗ trống cần điền là 8x³ - 1.

Chọn đáp án D.

Bài 3: Tính giá trị cuả biểu thức A = 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ tại x = 2 và y = -1.

A. 1 B. 8

C. 27 D. -1

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức ( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Khi đó ta có:

A = 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ = ( 2x )³ + 3.( 2x )².y + 3.( 2x ).y² + y³ = ( 2x + y )³

Với x = 2 và y = -1 ta có A = ( 2.2 - 1 )³ = 3³ = 27.

Chọn đáp án C.

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức A = 35² - 700 + 10².

A. 25². B. 15².

C. 45². D. 20².

Lời giải:

Ta có A = 35² - 700 + 10² = 35² - 2.35.10 + 10²

Áp dụng hằng đẳng thức ( a - b )² = a² - 2ab + b².

Khi đó A = ( 35 - 10 )² = 25².

Chọn đáp án A.

Bài 5: Giá trị của x thỏa mãn 2x² - 4x + 2 = 0 là ?

A. x = 1. B. x = - 1.

C. x = 2. D. x = - 2.

Lời giải:

Ta có 2x² - 4x + 2 = 0 ⇔ 2( x² - 2x + 1 ) = 0 ( 1 )

Áp dụng hằng đẳng thức ( a - b )² = a² - 2ab + b²

Khi đó ta có ( 1 ) ⇔ 2( x - 1 )² = 0 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1.

Chọn đáp án A.

Bài 6:

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ:

Ta được:

Chọn đáp án A

Bài 7: Điền vào chỗ chấm:

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 8: Rút gọn biểu thức: A = (x – 2y).(x² + 2xy + y²) - (x + 2y). (x² – 2xy + y²)

A. 2x³ B. -16y³

C. 16y³ D. –2x³

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức:

a³ – b³ = (a – b).(a² + ab + b²) và a³ + b³ = (a + b).(a² – ab + b²) ta được:

A = (x – 2y). (x² + 2xy + y²) - (x + 2y). (x² – 2xy + y²)

A = x³ – (2y)³ - [x³ + (2y)³]

A = x³ – 8y³ – x³ – 8y³ = -16y³

Chọn đáp án B

Bài 9: Tìm x biết x² – 16 + x(x – 4) = 0

A. x = 2 hoặc x = - 4.

B. x = 2 hoặc x = 4.

C. x = -2 hoặc x = - 4.

D. x = -2 hoặc x = 4.

Lời giải:

Ta có: x² – 16 + x(x – 4) = 0

⇔ (x + 4). (x - 4) + x.(x – 4) = 0

⇔ (x + 4 + x).(x - 4) = 0

⇔ (2x + 4). (x - 4) = 0

⇔ 2x + 4 = 0 hoặc x – 4 = 0

* Nếu 2x + 4 = 0 thì x = -2

* Nếu x – 4 =0 thì x = 4

Vậy x = -2 hoặc x = 4.

Chọn đáp án D

Bài 10: Rút gọn biểu thức A = (x + 2y ).(x - 2y) - (x – 2y)²

A. 2x² + 4xy B. – 8y² + 4xy

C. - 8y² D. – 6y² + 2xy

Lời giải:

Ta có: A = (x + 2y ). (x - 2y) - (x – 2y)²

A = x² – (2y)² – [x² – 2.x.2y +(2y)² ]

A = x² – 4y² – x² + 4xy - 4y²2

A = -8y² + 4xy

Chọn đáp án B

Bài 11: Chọn câu đúng

A. (c + d)² – (a + b)² = (c + d + a + b)(c + d – a + b)

B. (c – d)² – (a + b)² = (c – d + a + b)(c – d – a + b)

C. (a + b + c – d)(a + b – c + d) = (a + b)² – (c – d)²

D. (c – d)² – (a – b)² = (c – d + a – b)(c – d – a – b)

Lời giải

Ta có

(c + d)² – (a + b)² = (c + d + a + b)(c + d – (a + b)) = (c + d + a + b)(c + d – a – b) nên A sai

(c – d)² – (a + b)² = (c – d + a + b)[c – d – (a + b)] = (c – d + a + b)(c – d – a – b) nên B sai

(c – d)² – (a – b)² = (c – d + a – b)(c – d – (a – b)) = (c – d + a – b)(c – d – a + b) nên D sai

(a + b + c – d)(a + b – c + d) = [(a + b) + (c – d)][(a + b) – (c – d)] = (a + b)² – (c – d)² nên C đúng

Đáp án cần chọn là: C

Bài 12: Chọn câu đúng

A. 4 – (a + b)² = (2 + a + b)(2 – a + b)

B. 4 – (a + b)² = (4 + a + b)(4 – a – b)

C. 4 – (a + b)² = (2 + a – b)(2 – a + b)

D. 4 – (a + b)² = (2 + a + b)(2 – a – b)

Lời giải

Ta có 4 – (a + b)² = 2² – (a + b)² = (2 + a + b)[2 – (a + b)]

= (2 + a + b)(2 – a – b)

Đáp án cần chọn là: D

Bài 13: Rút gọn biểu thức A = (3x – 1)² – 9x(x + 1) ta được

A. -15x + 1

B. 1

C. 15x + 1

D. – 1

Lời giải

Ta có A = (3x – 1)² – 9x(x + 1)

= (3x)² – 2.3x.1 + 1 – (9x.x + 9x)

= 9x² – 6x + 1 – 9x² – 9x

= -15x + 1

Đáp án cần chọn là: A

Bài 14: Rút gọn biểu thức A = 5(x + 4)² + 4(x – 5)² – 9(4 + x)(x – 4), ta được:

A. 342

B. 243

C. 324

D. -324

Lời giải

Ta có A = 5(x + 4)² + 4(x – 5)² – 9(4 + x)(x – 4)

= 5(x² + 2.x.4 + 16) + 4(x² – 2.x.5 + 5²) – 9(x² – 4²)

= 5(x² + 8x + 16) + 4(x² – 10x + 25) – 9(x² – 4²)

= 5x² + 40x + 80 + 4x² – 40x + 100 – 9x² + 144

=

(5x² + 4x² – 9x²) + (40x – 40x) + (80 +100 + 144)

= 324

Đáp án cần chọn là: C

Bài 15: Rút gọn biểu thức B = (2a – 3)(a + 1) – (a – 4)² – a(a + 7) ta được

A. 0

B. 1

C. 19

D. – 19

Lời giải

Ta có B = (2a – 3)(a + 1) – (a – 4)² – a(a + 7)

= 2a² + 2a – 3a – 3 – (a² – 8a + 16) – (a² + 7a)

= 2a² + 2a – 3a – 3 – a² + 8a – 16 – a² – 7a

= - 19

Đáp án cần chọn là: D

Bài 16: Cho B = (x² + 3)² – x²(x² + 3) – 3(x + 1)(x – 1). Chọn câu đúng.

A. B < 12

B. B > 13

C. 12 < B< 14

D. 11 < B < 13

Lời giải

Ta có B = (x² + 3)² – x²(x² + 3) – 3(x + 1)(x – 1).

= (x²)² +2.x².4 + 3² – (x².x² + x².3) – 3(x² – 1)

= x⁴ + 6x² + 9 – x⁴ – 3x² – 3x² + 3 = 12

Đáp án cần chọn là: D

Bài 17: Cho . Tìm mối quan hệ giữa C và D.

A. D = 14C + 1

B. D = 14C

C. D = 14C – 1

D. D = 14C – 2

Lời giải

Ta có:

Vậy D = 29; C = 2 suy ra D = 14C + 1 (do 29 = 14.2 + 1)

Đáp án cần chọn là: A

Bài 18: Cho M = 4(x + 1)² + (2x + 1)² – 8(x – 1)(x + 1) – 12x và N = 2(x – 1)² – 4(3 + x)² + 2x(x + 14).

Tìm mối quan hệ giữa M và N

A. 2N – M = 60

B. 2M – N = 60

C. M> 0, N < 0

D. M > 0, N > 0

Lời giải

Ta có

M = 4(x + 1)² + (2x + 1)² – 8(x – 1)(x + 1) – 12

= 4(x² + 2x + 1) + (4x² + 4x + 1) – 8(x² – 1) – 12x

= 4x² + 8x + 4 + 4x² + 4x + 1 – 8x² +8 – 12x

= (4x² + 4x² – 8x²) + (8x + 4x – 12x) + 4 + 1 +8

= 13

N = 2(x – 1)² – 4(3 + x)² + 2x(x + 14)

= 2(x² – 2x + 1) – 4(9 + 6x + x²) + 2x² + 28x

= 2x² – 4x + 2 – 36 – 24x – 4x² + 2x² + 28x

= (2x² +2x² – 4x²) + (-4x – 24x + 28x) + 2 – 36

= -34

Suy ra M = 13, N = -34 ⇔ 2M – N = 60

Đáp án cần chọn là: B

Bài 19: Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn (2x – 1)² – (5x – 5)² = 0

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải

Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn yêu cầu

Đáp án cần chọn là: C

Bài 20: Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn (2x + 1)² – 4(x + 3)² = 0

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải

Ta có:

Vậy có một giá trị của x thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án cần chọn là: B

Xem thêm các phần lý thuyết, các dạng bài tập Toán lớp 8 khác:

• Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ đầy đủ
• Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ