Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng

Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng

I. Lý thuyết

Nếu bạn có tọa độ của điểm A và phương trình mặt phẳng P, bạn có thể sử dụng phương trình để tính toán hình chiếu một cách chính xác.

Để tìm hình chiếu của một điểm A lên một mặt phẳng P, bạn có thể thực hiện bước sau:

Vẽ đoạn thẳng từ điểm A đến mặt phẳng P sao cho đoạn thẳng này vuông góc với mặt phẳng P. Điểm cắt giữa mặt phẳng P và đoạn thẳng này chính là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng P.

Hình chiếu là một khái niệm quan trọng trong hình học và được sử dụng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm hình học không gian, đồ họa máy tính, và xử lý hình ảnh.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +2 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P)

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương

Phương trình của d là:

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ của H(1+2t, -1-t; 2+2t) thỏa mãn:

2(1+2t) – (-1-t) + 2(2+2t) + 2 = 0

⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0

⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= - 1 nên H ( - 1; 0; 0)

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2y – z+ 5= 0 và điểm M( -1; 2; 1). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)

Lời giải:

+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Gọi d là đường thẳng đi qua M ( -1; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Thay x= - 1+ t; y= 2+ 2t;z= 1- t vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

( -1+ 2t)+ 2(2+ 2t) – ( 1- t) + 5= 0

⇔ - 1+ 2t+ 4 + 4t – 1+ t+ 5= 0

⇔ 7t+ 7= 0 ⇔ t= - 1 nên H( -2; 0; 2)

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y - 4= 0 và điểm A( 1; 1; 0). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A’.

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi d là đường thẳng đi qua A( 1; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là ( 1; -2; 0)

=> Phương trình đường thẳng

+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( P). Khi đó; H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):

=> H( 1+ t; 1- 2t; 0) thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta có:

1+ t – 2( 1- 2t) - 4= 0 hay t= 1

=> H( 2; - 1; 0) .

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 2; -1; 0) .

+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của AA’.

=> Tọa độ A’(3; -3; 0)

Bài 2: Cho M( 0; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + y - z +2 = 0. Gọi H ( a; b; c ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tính a+ b + c?

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P); nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương

Phương trình của d là:

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ của H( t; 1+ t; 3- t) thỏa mãn: t+ 1+ t- ( 3- t) + 2= 0

⇔ 3t= 0 nên t= 0

=> Tọa độ H( 0;1;3)

=> a+ b+ c= 0+1+3 = 4

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2z+ 3= 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)

Lời giải:

+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Gọi d là đường thẳng đi qua M (- 2; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Thay x= - 2+ t; y= 1 và z= 2+ 2t vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

- 2+ t + 2( 2+ 2t) + 3= 0

⇔ 5t + 5= 0 ⇔ t= - 1 nên H( - 3; 1; 0)

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x - 2y- 3z - 11= 0 và điểm A( 2; 1; 1). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A’.

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi d là đường thẳng đi qua A( 2;1; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là (1; -2; - 3)

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( P). Khi đó; H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):

=> H( 2+ t; 1- 2t; 1- 3t) thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta có:

2+ t – 2( 1- 2t)- 3( 1- 3t) - 11 = 0

⇔ 2+ t -2+ 4t – 3 + 9t- 11 = 0

⇔ 14 t- 14= 0 ⇔ t= 1 nên H ( 3; -1; - 2)

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 3; -1; - 2) .

+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của AA’.

=> Tọa độ A’( 4; -3; - 5)

Bài 5: Gọi M' (a, b, c) là điểm đối xứng của điểm M (2; 1; 3) qua mặt phẳng (P): x - y + z - 1 = 0. Tính a + b + c.

Giải:

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) $\Rightarrow$ H là trung điểm của MM'

Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) $\Rightarrow$ H = d $\cap$ (P)

$d\perp \left(P\right)\Rightarrow \overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=(1;-1;1)\Rightarrow d:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\\ z=3+t\end{array}\right.$

Tọa độ điểm H thỏa mãn hệ $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\\ z=3+t\\ x-y+z-1=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\\ z=3+t\\ 2+t-(1-t)+3+-1=0\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=2\\ t=-1\end{array}\Rightarrow H(1;2;2)\right.$

Vì H là trung điểm của MM'

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2x_H=x_M+x_{M\text{'}}\\ 2y_H=y_M+y_{M\text{'}}\\ 2z_H=z_M+z_{M\text{'}}\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_{M\text{'}}=0\\ y_{M\text{'}}=3\\ z_{M\text{'}}=1\end{array}\Rightarrow a=0, b=3, c=1\right.\right.$

Vậy a + b + c = 4

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P).

Bài 7. Cho M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +2 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P).

Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0 và điểm M( -1; 2; 1). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P).

Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y - 4= 0 và điểm A(1; 1; 0). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A'.

Bài 10. Cho M(0; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + y - z +2 = 0. Gọi H (a; b; c) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tính a + b + c?