Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng

Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng

A. Phương pháp giải

Bài toán: Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm A. Tìm điểm H là hình chiếu của A trên đường thẳng d:

+ Bước 1: Gọi tọa độ điểm H(x_H; y_H).

Vì điểm H thuộc d nên : ax_H + by_H + c = 0 (1).

+ Bước 2:Do AH vuông góc d nên $\overrightarrow{AH}$ là VTPT của d.

⇒ $\overrightarrow{AH}$(x_H - x_A; y_H - y_A) và $\overrightarrow{n}$(a; b) cùng phương

⇒ b(x_H - x_A) - a(y_H - y_A )= 0 (2)

+ Bước 3: giải hệ(1) và (2) ta được tọa độ điểm H.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x - y = 0 và điểm M(1; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. (1; 3) B. (2; 2) C. ( 3; -1) D. (4; -1)

Lời giải

+ Gọi H(a;b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a - b = 0 (1)

+ Ta có: MH→(a - 1; b - 3).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương n_d→ (1; -1)

⇒ ⇔ -a + 1= b - 3 hay a + b = 4 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H(2; 2).

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0 và điểm M(0; 4). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. H(- ; ). B. H( ; ). C. H( ; ). D. (4; -1)

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên 2a - b + 3 = 0 (1)

+ Ta có: MH→(a; b - 4).

Đường thẳng MH vuông góc d nên $\overrightarrow{\mathrm{MH}}$ cùng phương $\overrightarrow{n_d}$(2; -1)

⇒ ⇔ -a = 2b - 8 hay a + 2b = 8 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H( ; )

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0 và điểm M(1; 3). Gọi M’(x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 2x - y?

A. 1 B. 2 C. 0 D. -1

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a + 2b + 4 = 0 (1)

+ Ta có: $\overrightarrow{MH}$(a - 1; b - 3).

Đường thẳng MH vuông góc d nên $\overrightarrow{MH}$cùng phương $\overrightarrow{n_d}$(1 ; 2)

⇒ ⇔ 2a - 2 = b - 3 hay 2a - b = -1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H(-1,2; -1,4).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Vậy M’(-3,4; - 5,8) ⇒ 2x - y = -1

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: 2x - y = 0 và điểm M(1 ;0). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 4x + 3y?

A. 1 B. 2 C. 0 D. -1

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên 2a - b = 0 (1)

+ Ta có: MH→(a-1; b).

Đường thẳng MH vuông góc d nên $\overrightarrow{MH}$ cùng phương $\overrightarrow{n_d}$(2; -1)

⇒ ⇔ -a + 1 = 2b hay a + 2b = 1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H(0,2; 0,4).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Vậy M’(-0,6; 0,8) ⇒ 4x + 3y = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 5 = 0 và điểm A(-1; 1). Tìm hình chiếu của điểm A trên d?

A. (2; -1) B. (-2; -1) C. (-1; 1) D. (-1; 3)

Lời giải

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :

2.(-1) - 3.1 + 5 = 0

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là chính nó.

Chọn C.

Ví dụ 6: Cho đường thẳng (d): x + y - 3 = 0 và điểm M(2; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?

A. x + y - 4 = 0 B. x + y - 1 = 0 C. x - y - 1 = 0 D. x - y + 3 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng (d) có VTPT n→( 1; 1).

+ Vecto $\overrightarrow{MA}$( x - 2; y - 1).

Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d

⇒ Hai vecto $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{n_d}$ cùng phương

⇔ ⇔ x - 2 = y - 1 hay x - y - 1 = 0

Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng:
∆: x - y - 1 = 0

Chọn C.

Ví dụ 7: Cho đường thẳng d: = 1 và điểm M(0; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. (1; 3) B. (0,4; 2,8) C. ( 2,3; -1) D. (4; -1,2)

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên = 1 hay 2a - b = -2 (1)

+ Ta có: $\overrightarrow{MH}$(a; b - 3). Phương trình tổng quát (d): 2x - y + 2 = 0

Đường thẳng MH vuông góc d nên $\overrightarrow{MH}$ cùng phương $\overrightarrow{n_d}$(2; -1)

⇒ ⇔ -a = 2b - 6 hay a + 2b = 6 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H(0,4; 2,8)

Chọn B.

Ví dụ 8: Cho đường thẳng d: x - y + 3 = 0 và điểm M(1; 1). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. H(- ; ). B. H( ; ). C. H( ; ). D. (4; -1)

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a- b+3= 0 (1)

+ Ta có: MH→(a - 1; b - 1).

Đường thẳng MH vuông góc d nên $\overrightarrow{MH}$ cùng phương $\overrightarrow{n_d}$(1; -1)

⇒ ⇔ -a + 1 = b - 1 hay a + b = 2 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ :

⇒ Tọa độ điểm H( ; ).

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho đường thẳng d: 4x + y - 5 = 0 và điểm A(1; 1). Tìm hình chiếu của điểm A trên d?

A. (2; -1) B. (-2; -1) C. (1; 1) D. (-1; 3)

Lời giải

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :

4.1 + 1 - 5 = 0

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là chính nó.

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho đường thẳng (d): 2x + 3y - 3 = 0 và điểm M(0; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?

A. 2x + 3y - 4 = 0 B. 3x - 2y + 2 = 0 C. 3x - 2y - 1 = 0 D. 2x - 3y + 3 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng (d) có VTPT $\overrightarrow{n}$(2; 3).

+ Vecto $\overrightarrow{MA}$( x; y - 1).

Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d

⇒ Hai vecto $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{n}$ cùng phương

⇔ ⇔ 3x = 2y - 2 hay 3x - 2y + 2 = 0

Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng: ∆: 3x - 2y + 2 = 0

Chọn B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 khác:

• Các công thức về phương trình đường thẳng

• Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng