Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng
Với tài liệu các trường hợp hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng
A. Phương pháp giải
Bài toán: Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm A. Tìm điểm H là hình chiếu của A trên đường thẳng d:
+ Bước 1: Gọi tọa độ điểm H(xH; yH).
Vì điểm H thuộc d nên : axH + byH + c = 0 (1).
+ Bước 2:Do AH vuông góc d nên AH→ là VTPT của d.
⇒ AH→(xH - xA; yH - yA) và n→(a; b) cùng phương
⇒ b(xH - xA) - a(yH - yA )= 0 (2)
+ Bước 3: giải hệ(1) và (2) ta được tọa độ điểm H.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x - y = 0 và điểm M(1; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?
A. (1; 3) B. (2; 2) C. ( 3; -1) D. (4; -1)
Lời giải
+ Gọi H(a;b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên a - b = 0 (1)
+ Ta có: MH→(a - 1; b - 3).
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→ (1; -1)
⇒ ⇔ -a + 1= b - 3 hay a + b = 4 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ :
⇒ Tọa độ điểm H(2; 2).
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0 và điểm M(0; 4). Tìm hình chiếu của M trên d?
A. H(- ;
). B. H(
;
). C. H(
;
). D. (4; -1)
Lời giải
+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên 2a - b + 3 = 0 (1)
+ Ta có: MH→(a; b - 4).
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(2; -1)
⇒ ⇔ -a = 2b - 8 hay a + 2b = 8 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ :
⇒ Tọa độ điểm H( ;
)
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0 và điểm M(1; 3). Gọi M’(x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 2x - y?
A. 1 B. 2 C. 0 D. -1
Lời giải
+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên a + 2b + 4 = 0 (1)
+ Ta có: MH→(a - 1; b - 3).
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(1 ; 2)
⇒ ⇔ 2a - 2 = b - 3 hay 2a - b = -1 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ :
⇒ Tọa độ điểm H(-1,2; -1,4).
+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:
Vậy M’(-3,4; - 5,8) ⇒ 2x - y = -1
Chọn D.
Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: 2x - y = 0 và điểm M(1 ;0). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 4x + 3y?
A. 1 B. 2 C. 0 D. -1
Lời giải
+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên 2a - b = 0 (1)
+ Ta có: MH→(a-1; b).
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(2; -1)
⇒ ⇔ -a + 1 = 2b hay a + 2b = 1 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ :
⇒ Tọa độ điểm H(0,2; 0,4).
+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:
Vậy M’(-0,6; 0,8) ⇒ 4x + 3y = 0
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 5 = 0 và điểm A(-1; 1). Tìm hình chiếu của điểm A trên d?
A. (2; -1) B. (-2; -1) C. (-1; 1) D. (-1; 3)
Lời giải
Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :
2.(-1) - 3.1 + 5 = 0
⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là chính nó.
Chọn C.
Ví dụ 6: Cho đường thẳng (d): x + y - 3 = 0 và điểm M(2; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?
A. x + y - 4 = 0 B. x + y - 1 = 0 C. x - y - 1 = 0 D. x - y + 3 = 0
Lời giải
+ Đường thẳng (d) có VTPT n→( 1; 1).
+ Vecto MA→( x - 2; y - 1).
Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d
⇒ Hai vecto MA→ và nd→ cùng phương
⇔ ⇔ x - 2 = y - 1 hay x - y - 1 = 0
Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng:
∆: x - y - 1 = 0
Chọn C.
Ví dụ 7: Cho đường thẳng d: = 1 và điểm M(0; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?
A. (1; 3) B. (0,4; 2,8) C. ( 2,3; -1) D. (4; -1,2)
Lời giải
+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên = 1 hay 2a - b = -2 (1)
+ Ta có: MH→(a; b - 3). Phương trình tổng quát (d): 2x - y + 2 = 0
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(2; -1)
⇒ ⇔ -a = 2b - 6 hay a + 2b = 6 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ :
⇒ Tọa độ điểm H(0,4; 2,8)
Chọn B.
Ví dụ 8: Cho đường thẳng d: x - y + 3 = 0 và điểm M(1; 1). Tìm hình chiếu của M trên d?
A. H(- ;
). B. H(
;
). C. H(
;
). D. (4; -1)
Lời giải
+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên a- b+3= 0 (1)
+ Ta có: MH→(a - 1; b - 1).
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(1; -1)
⇒ ⇔ -a + 1 = b - 1 hay a + b = 2 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ :
⇒ Tọa độ điểm H( ;
).
Chọn C.
Ví dụ 9: Cho đường thẳng d: 4x + y - 5 = 0 và điểm A(1; 1). Tìm hình chiếu của điểm A trên d?
A. (2; -1) B. (-2; -1) C. (1; 1) D. (-1; 3)
Lời giải
Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :
4.1 + 1 - 5 = 0
⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là chính nó.
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho đường thẳng (d): 2x + 3y - 3 = 0 và điểm M(0; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?
A. 2x + 3y - 4 = 0 B. 3x - 2y + 2 = 0 C. 3x - 2y - 1 = 0 D. 2x - 3y + 3 = 0
Lời giải
+ Đường thẳng (d) có VTPT n→(2; 3).
+ Vecto MA→( x; y - 1).
Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d
⇒ Hai vecto MA→ và n→ cùng phương
⇔ ⇔ 3x = 2y - 2 hay 3x - 2y + 2 = 0
Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng: ∆: 3x - 2y + 2 = 0
Chọn B.
Ví dụ 11. Cho tam giác OBC có O(0; 0) ; B( 0; 6) và C(-6; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác OBC. Tìm điểm G’ đối xứng với G qua BC?
A. G’( - ;-
) B. G’( -1; 1) C. G’(-2; 2) D. G’(-4; 4)
Lời giải
+ ta có: OB→(0; 6); OC→( -6; 0)
⇒ OB= 6; OC= 6 và OB→.OC→ = 0.(-6) + 6.0 = 0
⇒ OB vuông góc OC và OB = OC
⇒ Tam giác OBC vuông góc tại O.
+ Do G là trọng tâm tam giác OBC nên tọa độ điểm G:
⇒ G( -2; 2)
+ Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác OBC là vuông cân tại O nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao nên OM vuông góc BC tại M.
⇒ G’ đối xứng với G qua BC nên M là trung điểm của GG’.
- M là trung điểm BC nên tọa độ điểm M: ⇒ M( - 3; 3)
- M là trung điểm GG’nên tọa độ điểm G’ là:
⇒ G’ ( -4; 4)
⇒ Vậy tọa độ điểm G’( - 4; 4)
Chọn D.
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Các dạng bài tập Tiếng Anh thông dụng nhất
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Tiếng Anh có đáp án
- Toàn bộ kiến thức về cụm động từ | Định nghĩa và cách dùng
- 500 đoạn văn Tiếng Anh thông dụng nhất và cách làm
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Công nghệ có đáp án
- 1000 câu hỏi ôn tập Giáo dục công dân
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Vật lí có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Vật lí
- Phương trình hóa học | Tổng hợp PTHH của các chất hữu cơ, vô cơ chính xác nhất
- Đồng phân & Công thức cấu tạo của các chất hữu cơ
- Nhận biết các chất Hóa học
- Cấu hình electron
- So sánh bán kính nguyên tử và bán kính ion
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Hóa có đáp án
- Wiki các chất hóa học | Định nghĩa, tính chất, nhận biết, điều chế, ứng dụng
- Cách đọc danh pháp hóa học (chương trình mới) đầy đủ nhất
- Công thức Lewis của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức electron của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức cấu tạo của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức hợp chất khí với hidro của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hợp chất khí với hidro
- Công thức hidroxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hidroxit cao nhất
- Công thức oxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức oxit cao nhất
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Tin học có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Lịch sử có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Địa lí có đáp án
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Sinh học có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Sinh học
- Tổng hợp về các tác giả văn học
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Ngữ văn có đáp án
- Tổng hợp kiến thức Ngữ Văn
- Trò chơi Powerpoint | Game Powerpoint
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên mầm non (2024) theo Thông tư 12
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên tiểu học (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THCS (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THPT (2024)