Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách giải phương trình trùng phương

Giải phương trình trùng phương

A. Phương pháp giải

1. Phương pháp đặt ẩn phụ

Cho phương trình ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0) (1)

B1: Đặt t = x² (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: at² + bt + c = 0 (a ≠ 0) (2)

B2: Giải phương trình (2) tìm t, lấy nghiệm t thỏa mãn điều kiện (t ≥ 0)

B3: Với mỗi giá trị t tìm được ở B2 thay vào đẳng thức t = x² tìm x

Ví dụ 1: Giải phương trình x⁴ + 7x² + 10 = 0 (1)

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: t² + 7t + 10 = 0 (2)

Ta có: ∆ = 7² – 4.1.10 = 49 – 40 = 9 > 0

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình 4x⁴ + x² - 5 = 0 (1)

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: 4t² + t - 5 = 0 (2)

(2) là phương trình bậc hai có: a + b + c = 0 nên có 2 nghiệm phân biệt

Với t = 1 thì 1 = x² ⇔ x = ± 1

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm: x = 1, x = -1

2. Phương pháp đưa về phương trình tích

Ví dụ 1: Giải phương trình x⁴ + 7x² + 10 = 0 (1)

Giải

Hai phương trình (*) và (**) vô nghiệm nên phương trình (1) vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình 4x⁴ + x² - 5 = 0 (1)

Giải

Phương trình (*) vô nghiệm

Phương trình (**) ⇔ x² = 1 ⇔ x = ±1.

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm x = ±1

B. Bài tập

Câu 1: Số nghiệm của phương trình: 3x⁴ - 2x² - 5 = 0 (1) là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: 3t² - 2t - 5 = 0 (2)

Phương trình (2) có a – b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Đáp án đúng là C

Câu 2: Số nghiệm lớn hơn 1 của phương trình: x⁴ + 3x² - 6 = 0 (1) là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: t² + 3t - 6 = 0 (2)

Ta có: ∆ = 3² – 4.1.(-6) = 9 + 24 = 33 > 0

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình có một nghiệm lớn hơn 1

Đáp án đúng là B

Câu 3: Số nghiệm của phương trình: 3x⁴ + 4x² + 1 = 0 (1) là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: 3t² + 4t + 1 = 0 (2)

Phương trình (2) có a – b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

Đáp án đúng là A

Câu 4: Số nghiệm dương của phương trình 2x⁴ - 3x² - 2 = 0 (1) là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: 2t² - 3t - 2 = 0 (2)

Ta có: ∆ = (-3)² – 4.2.(-2) = 9 + 16 = 25 > 0

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình có 1 nghiệm dương

Đáp án đúng là B

Câu 5: Số nghiệm âm của phương trình: 3x⁴ + 10x² + 3 = 0 là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: 3t² + 10t + 3 = 0 (2)

Ta có: ∆ = (10)² – 4.3.3 = 100 - 36 = 64 > 0

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình (1) có vô nghiệm, do đó (1) không có nghiệm âm nào

Đáp án đúng là A

Câu 6: Số nghiệm của phương trình: là

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Giải

Ta có:

Vậy phương trình có 3 nghiệm

Đáp án đúng là A

Câu 7: Số nghiệm của phương trình: -15x⁴ - 26x² + 10 = 0 (1) là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: -15t² - 26t +10 = 0 (2)

Ta có: ∆ꞌ = (-13)² – (-15).10 = 169 + 150 = 319 > 0

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Đáp án đúng là B

Câu 8: Số nghiệm của phương trình: (x+1)⁴ – 5(x+1)² - 84 = 0 là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Giải

Đặt t = (x + 1)² (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: t² - 5t - 84 = 0 (2)

Ta có: ∆ = (-5)² – 4.1.(-84) = 25 + 336 = 361 > 0

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Đáp án đúng là C

Câu 9: Số nghiệm của phương trình: 2x⁴ - 9x² + 7 = 0 (1) là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Giải

Đặt t = x² (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: 2t² - 9t + 7 = 0 (2)

Phương trình (2) có a + b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm

Vậy phương trình có 4 nghiệm

Đáp án đúng là D

Câu 10: Tích các nghiệm của phương trình: (2x + 1)⁴ – 8(2x + 1)² - 9 = 0 là

A. 2

B. 4

C. -2

D. -4

Giải

Đặt t = (2x + 1)² (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: t² - 8t - 9 = 0 (2)

Phương trình (2) có a – b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm

Vậy tích các nghiệm của phương trình là -2.

Đáp án đúng là C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 khác:

• Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu hay, chi tiết
• Phương pháp giải phương trình đưa về dạng tích cực hay